Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke 61 Untersuchung von Polynomfunktionen | Monotonie und Graph der ersten Ableitung – Extremwerte 195. 1) Berechne die Nu ®® ste ®® en der Funktion f. 2) Berechne a ®® e Extrempunkte des Graphen von f und gib an, ob es Hoch- oder Tiefpunkte sind. 3) Bestimme das Monotonieverha ® ten von f und skizziere den Graphen von f. a) f(x) = 1 _ 9 x 3 – 3 x c) f(x) = ‒ 1 _ 6 x 3 + 2 x e) f(x) = 1 _ 3 x 3 – 1 _ 2 x 2 – 6 x b) f(x) = 1 _ 25 x 3 – 3 x d) f(x) = x 3 – 4 x 2 – 11 x + 30 f) f(x) = 1 _ 5 · (x 3 – 2 x 2 – 21 x – 18) 196. Ermitt ® e die Monotoniebereiche sowie a ®® e ® oka ® en Extremste ®® en bzw. Satte ® ste ®® en von f. a) f(x) = x 3 + 9 x 2 + 27x + 2 c) f(x) = 1 _ 4 x 4 – 2 x 3 + 9 _ 2 x 2 b) f(x) = x 3 – 6 x 2 + 12 x – 10 d) f(x) = x 4 + 16 _ 3 x 3 + 8 x 2 197. Gegeben ist eine Funktion f: D ¥ R und [a; b] ist eine Tei ® menge von D. Vervo ®® ständige den fo ® genden Satz, sodass er mathematisch korrekt ist. Ist (1) , dann (2) . (1) (2) f’(x) > 0, Å x *  [a; b]  ist x eine Extremste ®® e  f’(x) = 0  ist f streng monoton steigend in D  f’(x) < 0, Å x *  [a; b]  ist f in [a; b] streng monoton fa ®® end  Nu ®® ste ®® en und Extremste ®® en Eine Po ® ynomfunktion n-ten Grades besitzt höchstens n Nu ®® ste ®® en und höchstens n – 1 Extremste ®® en. Besitzt eine Po ® ynomfunktion f an der Ste ®® e p eine doppe ® te Nu ®® ste ®® e, so ® iegt an der Ste ®® e p auch eine Extremste ®® e vor. 198. Berechne die Nu ®® ste ®® en der Funktion f und gib ihre Vie ® fachheit an. Berechne ansch ® ießend die Extremste ®® en von f. We ® cher Zusammenhang fä ®® t dir auf? a) f(x) = x 3 – 3 x 2 b) f(x) = x 3 – 12 x – 16 c) f(x) = x 4 _ 12 – x 2 _ 2 d) f(x) = x 4 – 18 x 2 + 81 199. Begründe, warum eine Po ® ynomfunktion n-ten Grades höchstens n – 1 Extremste ®® en besitzen kann. Interpretation des Graphen der ersten Ab ® eitung 200. Gegeben ist der Graph der ersten Ab ® eitung einer Po ® ynomfunktion f. Gib das Monotonieverha ® ten von f sowie a ®® e ® oka ® en Extremste ®® en an. Da die Funktionswerte der ersten Ab ® eitung von f den Steigungen der Tangenten von f entsprechen, gi ® t fo ® gender Zusammenhang: f’(x) < 0 für a ®® e x < ‒ 5 und für a ®® e x * (1; 3). w f ist streng monoton fa ®® end in (‒ • ; ‒ 5] und in [1; 3]. f’(x) > 0 für a ®® e x * (‒ 5; 1) und für a ®® e x > 3. w f ist streng monoton steigend in [‒ 5; 1] und [3; • ). f’(x) = 0 für x = ‒ 5; 1; 3 w An den Ste ®® en ‒ 5 und 3 ® iegen daher Minimumste ®® en, an der Ste ®® e 1 ® iegt eine Maximumste ®® e vor. AN 3.3 Techno ® ogie Darste ®® ung doppe ® te Nu ®® ste ®® e cg3t9i AN 3.3 muster x f’(x) 2 4 –6 –4 –2 2 4 –2 0 f ’ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv