Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

techno- logie Merke 60 Untersuchung von Polynomfunktionen 3 Monotonie von Funktionen Da die erste Ab ® eitung an der Ste ®® e p einer Funktion die Steigung der Tangente von f an der Ste ®® e p angibt, kann auch eine Aussage über die Monotonie getroffen werden. Da f im Interva ®® [0; 2] streng monoton fa ®® end ist, sind die Tangen- tensteigungen in diesem Interva ®® an jeder Ste ®® e außer bei 0 und 2 (da hier eine Extremste ®® e vor ® iegt) negativ, d. h. der Graph der ersten Ab ® eitung besitzt im Interva ®® (0; 2) nur negative Funktionswerte bzw. eine Nu ®® ste ®® e bei 0 und 2. Weitere Über ® egungen kann man natür ® ich auch für die Interva ®® e (‒ • ; 0] und [2; • ) vornehmen. Monotonie einer Funktion f mit Hi ® fe von f’ Ist f im Interva ®® [a; b] streng monoton steigend, dann besitzt f’ in (a; b) nur positive Funkti- onswerte. Es gi ® t daher: f ist in [a; b] streng monoton steigend w f’(x) > 0 für a ®® e x * (a; b) Ist f im Interva ®® [a; b] streng monoton fa ®® end, dann besitzt f’ in (a; b) nur negative Funkti- onswerte. Es gi ® t daher: f ist in [a; b] streng monoton fa ®® end w f’(x) < 0 für a ®® e x * (a; b) 194. Ermitt ® e die Monotoniebereiche sowie a ®® e ® oka ® en Extrempunkte der Funktion f mit f(x) = 1 _ 40 · x 4 – 4 _ 15 · x 3 + 4 _ 5 · x 2 + 1 _ 5 . 1. Schritt: Zuerst werden a ®® e mög ® ichen Extremste ®® en berechnet. Dafür werden jene Ste ®® en gesucht, für die gi ® t f’(x) = 0: f’(x) = 1 _ 10 · x 3 – 4 _ 5 · x 2 + 8 _ 5 · x w 0 = 1 _ 10 · x 3 – 4 _ 5 · x 2 + 8 _ 5 · x Durch Lösen der G ® eichung erhä ® t man: x 1 = 0, x 2 = 4. Durch Berechnung der Funktionswerte erhä ® t man die mög ® ichen Extrempunkte: f(0) = 0,2; f(4) = 2,33. Durch Zeichnen des Graphen der Funktion erkennt man, dass an der Ste ®® e 0 eine Minimumste ®® e ® iegt. Da an der Ste ®® e 4 kein Monotoniewechse ® stattfindet, ® iegt hier eine Satte ® ste ®® e: T = (0 1 0,2); S = (4 1 2,33). 2. Schritt: Es wird das Monotonieverha ® ten von f untersucht. Dabei tei ® t man den Definitionsbereich in drei Tei ® interva ®® e, um die Monotonie zu überprüfen (die drei Tei ® e erhä ® t man mithi ® fe der mög ® ichen Extremste ®® en). Es wird die erste Ab ® eitung an einer Ste ®® e innerha ® b des Interva ®® s berechnet: (‒ • ; 0) z. B. x = ‒1 w f’(‒1) = ‒ 2,5 f ist in (‒ • ; 0] streng monoton fa ®® end. (0; 4) z. B. x = 1 w f’(1) = 0,9 f ist in [0; 4] streng monoton steigend. (4; • ) z. B. x = 5 w f’(5) = 0,5 f ist in [4; • ) streng monoton steigend. Man erkennt, dass an der Ste ®® e 4 kein Monotoniewechse ® stattfindet. Daher ist die Funktion im Interva ®® [0; • ) streng monoton steigend und an der Ste ®® e 4 ® iegt eine Satte ® ste ®® e. An der Ste ®® e 0 befindet sich ein ® oka ® es Minimum. Berechnen a ®® er Extrempunkte des Graphen einer Po ® ynomfunktion f Geogebra Extremum(f) Beispie ® : f(x) = x 2 + 3 Extremum(f) A = (0,3) TI-Nspire kann im Graphs Modus berechnet werden x f(x) 4 –2 2 4 –4 –2 0 f Techno ® ogie Darste ®® ung Monotonie ef7u2k muster x f(x) 2 4 6 8 –4 –2 2 4 6 8 10 0 f Techno ® ogie An ® eitung Extremste ®® en berechnen q3vu5m Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv