Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke Merke 59 Untersuchung von Polynomfunktionen | Monotonie und Graph der ersten Ableitung – Extremwerte Notwendige Bedingung für Extremste ®® en Ist p eine ® oka ® e Extremste ®® e einer Funktion f, dann ist die Steigung der Tangente an dieser Ste ®® e 0. Es gi ® t daher: p ist ® oka ® e Extremste ®® e w f’(p) = 0 191. Gegeben ist der Graph einer Funktion f. Bestimme jene ganzzah ® igen Ste ®® en p von f, für die gi ® t f’(p) = 0 und gib an, ob sie ® oka ® e Extremste ®® en sind. Begründe deine Entscheidung. a) b) c) Hinreichende Bedingung für Extremste ®® en Leider kann man aus der Eigenschaft f’(p) = 0 nicht sch ® ießen, dass an dieser Ste ®® e auch eine Extremste ®® e ® iegt, da diese Bedingung nicht hinreichend ist. In der Abbi ® dung sieht man den Graphen der Funktion f mit f(x) = (x – 4) 3 + 3. Obwoh ® die Tangente an der Ste ®® e 4 para ®® e ® zur x-Achse ist, ® iegt hier keine Extremste ®® e vor. Eine so ® che Ste ®® e wird auch Satte ® - oder Terrassenste ®® e genannt. Eine hinreichende Bedingung für eine Extremste ®® e erhä ® t man, wenn man zu der Eigenschaft f’(p) = 0 auch einen Monotoniewechse ® fordert. Hinreichende Bedingung für Extremste ®® en f’(p) = 0 und f ändert an der Ste ®® e p ihr Monotonieverha ® ten w p ist ® oka ® e Extremste ®® e Satte ® ste ®® e/Terrassenste ®® e einer Funktion f Gi ® t an einer Ste ®® e p einer Funktion f’(p) = 0 und findet an dieser Ste ®® e kein Monotonie- wechse ® statt, dann nennt man p eine Satte ® - oder Terrassenste ®® e von f. Der Punkt P = (p 1 f(p)) wird Satte ® punkt genannt. 192. Berechne a ®® e Punkte P = (p 1 f(p)) des Graphen von f, für die gi ® t f’(p) = 0. We ® che besonderen Punkte erhä ® tst du mit dieser Berechnung? Begründe deine Entscheidung. a) f(x) = x 2 – 6 x + 8 c) f(x) = ‒ 3 x 2 + 2 x – 4 e) f(x) = ‒ 2 x 2 + 5 x – 1 b) f(x) = 6 x 2 – x – 12 d) f(x) = 3 x 2 – 12 x + 48 f) f(x) = ‒ x 2 + 3 x – 1 193. Skizziere einen mög ® ichen Graphen der Funktion f. a) f besitzt an der Ste ®® e ‒ 3 ein ® oka ® es Maximum, an der Ste ®® e 0 eine Satte ® ste ®® e und an der Ste ®® e 2 ein ® oka ® es Minimum. b) f besitzt an der Ste ®® e ‒ 4 ein ® oka ® es Minimum, an der Ste ®® e ‒1 eine Satte ® ste ®® e und an der Ste ®® e 3 ein ® oka ® es Maximum. Techno ® ogie Darste ®® ung Extremste ®® en y53ik9 x f(x) 2 4 6 8 –4 –2 2 4 6 –2 0 f f(x) x 2 4 6 –6 –4 –2 –8 –6 –4 –2 0 f x f(x) 2 4 6 –6 –4 –2 1 –3 –2 – 1 0 f x f(x) 2 4 6 –2 2 4 0 f Nur f ( zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv