Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

58 Untersuchung von Polynomfunktionen 3 Notwendig und Hinreichend Mit den bisherigen Mitte ® n konnten Extremste ®® en und Monotonieinterva ®® e nur mit Hi ® fe von Wertetabe ®® en und Graphen bestimmt werden. Besonders bei nicht ganzzah ® igen Extremste ®® en ist diese Methode nicht exakt und aufwendig. Mit Hi ® fe der Differentia ® rechnung können Extremste ®® en berechnet werden. In diesem Abschnitt werden eine notwendige und eine hinreichende Bedingung für Extremste ®® en erarbeitet. Gi ® t für zwei Aussagen A und B, dass B aus A fo ® gt (in Zeichen A ¥ B), dann ist B eine notwendige Bedingung für A und A eine hinreichende Bedingung für B. Die Zusammenhänge werden an fo ® gendem Beispie ® gezeigt: A: Das Viereck ist ein Quadrat. B: Das Viereck hat vier g ® eich ® ange Seiten. Es gi ® t A ¥ B , d. h. Aussage B ist notwendig für Aussage A und Aussage A ist hinreichend für Aussage B . (Für ein Quadrat ist es notwendig, dass das Viereck vier g ® eich ® ange Seiten hat.) Da aus B nicht automatisch A fo ® gt (B ¥ A), ist die Aussage „Das Viereck hat vier g ® eich ® ange Seiten“ nicht hinreichend dafür, dass das Viereck ein Quadrat ist (es könnte auch eine Raute ohne rechte Winke ® sein). 190. Gib an, ob die Aussage A hinreichend bzw. notwendig für die Aussage B ist. Gib weiters an, ob die Aussage B hinreichend bzw. notwendig für die Aussage A ist. a) A: „Die Zah ® ist größer a ® s 2 und ungerade.“ B: „Die Zah ® ist eine ungerade Primzah ® .“ b) A: „Die Straße ist nass.“ B: „Es regnet.“ c) A: „Das Tier ist eine Biene.“ B: „Das Tier hat einen Stache ® .“ d) A: „Die Diagona ® en des Vierecks stehen norma ® aufeinander.“ B: „Das Viereck ist eine Raute.“ e) A: „x und y sind zwei gerade natür ® iche Zah ® en.“ B: „Die Summe der beiden Zah ® en x und y ist gerade.“ Notwendige Bedingung für Extremste ®® en In der ® inken Abbi ® dung sieht man den Graphen einer Po ® ynomfunktion dritten Grades (f), sowie die Tangenten an bestimmten Punkten eingezeichnet. In der rechten Abbi ® dung sieht man den Graphen der ersten Ab ® eitung von f. Die Funktionswerte der ersten Ab ® eitung geben – wie in Kapite ® 2 erarbeitet – die Steigungen der Tangenten von f an. Betrachtet man nun die Steigungen der Tangenten von f, so erkennt man, dass bei den ® oka ® en Extremste ®® en von f die Tangenten para ®® e ® zur x-Achse ver ® aufen. Die Nu ®® ste ®® en von f’ stimmen mit den zwei ® oka ® en Extremste ®® en von f überein. Somit erhä ® t man eine notwendige Bedingung für die Berechnung von Extremste ®® en. Ist p eine ® oka ® e Extremste ®® e von f, dann fo ® gt f’(p) = 0. Vertiefung Aussagen ® ogik d5c532 Arbeitsb ® att Aussagen ha4rh9 x f(x) 2 1 2 1 3 –3 –2 – 1 – 1 0 f x f’(x) 1 2 3 –3 –2 – 1 1 –2 –3 – 1 0 f ’ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv