Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

49 Grundlagen der Differentialrechnung Training 160. Der Druck in einem Behä ® ter ändert sich während eines zehn Minuten dauernden Experiments. Die Funktion p mit der G ® eichung p(t) = 5 _ 108 t 3 – 5 _ 12 t 2 + 7 beschreibt die Höhe des Drucks in Abhängigkeit von der Zeit t (p in bar, t in min). In der Abbi ® dung sieht man den Graphen der Funktion p. a) Berechne die momentane Änderungsrate von p zum Zeitpunkt t = 8. Angenommen die momentane Änderungsrate b ® eibt ab dem Zeitpunkt t = 8 bis zum Ende des Experiments g ® eich. Gib die Größe des Drucks am Ende des Experiments an. b) Bestimme die mitt ® ere Änderungsrate von p im Interva ®® [0; 3] und interpretiere dein Ergebnis im vor ® iegenden Kontext. c) Bestimme rechnerisch ein Interva ®® [0; u] so, dass die mitt ® ere Änderungsrate in diesem Interva ®® 0 ist. d) Kreuze die zutreffende(n) Aussage(n) an. A Die mitt ® ere Änderungsrate von p in [0; 8] ist negativ.  B Der Differentia ® quotient von p an der Ste ®® e 3 ist positiv.  C Es gibt eine Ste ®® e k im Interva ®®  [0; 10], für die gi ® t p’(k) = 0.  D Die abso ® ute Änderung von p im Interva ®®  [4; 7] ist positiv.  E Die momentane Änderungsrate von p ist für a ®® e x *  [7; 10] positiv.  161. Gegeben ist eine quadratische Funktion f mit f(x) = a x 2 + b x + c. Den Scheite ® (= der höchste oder tiefste Punkt der Parabe ® ) kann man mitte ® s S = 2 ‒ b _ 2 a 1 c – b 2 _ 4 a 3 berechnen. a) Da der Scheite ® punkt der höchste oder tiefste Punkt der Parabe ® ist, besitzt die Tangente in diesem Punkt die Steigung 0. Leite die Forme ® für den Scheite ® punkt des Graphen der Funktion f her. b) Erk ® äre, warum es bei einer quadratischen Funktion nicht mög ® ich ist, dass die Steigung der Tangente bei zwei verschiedenen Ste ®® en g ® eich ist. c) Bestimme jenen Punkt der Parabe ® f(x) = x 2 – 4 x + 7, in dem die Steigung der Tangente g ® eich der Steigung der Sekante von f im Interva ®® [‒ 3; 2] ist. d) Vervo ®® ständige den Satz so, dass er mathematisch korrekt ist. Ist der Differenzenquotient einer Funktion f mit f(x) = a x 2 + c in [‒ 2; 5] (1) , dann muss ge ® ten: (2) . (1) (2) positiv  f ist in [a; b] streng monoton fa ®® end  negativ  a > 0  nu ®®  c < 0  Typ 2 t p(t) 2 4 6 8 10 12 –2 2 4 6 8 10 0 p Typ 2 Nur zu Prüfzweck n – Eigentum des Verlags öbv