Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

48 Grundlagen der Differentialrechnung 2 Training Vernetzung – Typ-2-Aufgaben 158. Ein Läufer bewegt sich näherungsweise gemäß der Zeit-Ort-Funktion s mit s(t) = ‒ 0,025 t 3 + 0,7 t 2 + 1,85 t (s in Meter, t in Sekunden). In der Abbi ® dung sieht man den Graphen der Funktion s, sowie eine Sekante durch die beiden Punkte A = (1 1 2,525) und B = (6 1 30,9) des Graphen von s. a) Bestimme die Funktionsg ® eichung der Sekante durch die Punkte A und B. We ® che Bedeutung besitzt die Steigung der Sekante im gegebenen Kontext? b) Berechne die Steigung der Tangenten an s zu den Zeitpunkten 5 und 11 Sekunden. Verg ® eiche die beiden erha ® tenen Werte und interpretiere sie im gegebenen Kontext. c) Bestimme jenen Zeitpunkt t in [2; 6], an dem der Differenzenquotient von s in [2; 6] g ® eich dem Differentia ® quotienten von s ist. Interpretiere diesen Zusammenhang im gegebenen Kontext. d) Für die zweite Ab ® eitung von s gi ® t s’’(t) = ‒ 0,15 t + 1,4. Erk ® äre die Bedeutung der zweiten Ab ® eitung im gegeben Kontext. Interpretiere die Zah ® ‒ 0,15 im gegebenen Kontext. 159. Der Steigungswinke ® einer Geraden ist definiert a ® s jener Winke ® zwischen 0° und 180°, den die Gerade mit der x-Achse einsch ® ießt. Dieser Winke ® kann mitte ® s k = tan( α ) berechnet werden. In der Abbi ® dung sieht man den Graphen der Funktion f mit f(x) = x 2 – 3 x + 5, sowie den Graphen der Tangente t mit t(x) = 3 x – 4 von f an der Ste ®® e 3. a) Berechne die momentane Änderungsrate der Funktion f an den Ste ®® en 3 und 5. Interpretiere die beiden Ergebnisse. b) Bestimme jenen Punkt der Funktion f, in dem die Tangente einen Steigungswinke ® von 135° besitzt. c) Berechne den Steigungswinke ® der Geraden t. d) Gegeben sind die beiden Geraden u mit u(x) = k x + d und v mit v(x) = ‒ k x + s. Erk ® äre mit Hi ® fe der Trigonometrie, we ® cher Zusammenhang zwischen dem Steigungswinke ® von u und dem Steigungswinke ® von v besteht. Typ 2 t s(t) 2 4 6 8 10 12 14 16 –2 40 80 120 –40 0 A B s Typ 2 x y 2 4 6 8 10 –2 2 4 6 8 –2 0 f t α Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv