Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

47 Grundlagen der Differentialrechnung | Einfache Ableitungsregeln 155. Ein Körper bewegt sich gemäß der Zeit-Ort-Funktion s. Es gi ® t s’’(t) = ‒ 4. Gib die Bedeutung dieses Ausdrucks im gegebenen Kontext an. 156. Ein Körper bewegt sich gemäß der Zeit-Ort-Funktion s. Es gi ® t s’’(t) = 0. Gib die Bedeutung dieses Ausdrucks im gegebenen Kontext an. 157. Ein Körper bewegt sich gemäß der Zeit-Ort-Funktion s. Interpretiere den Ausdruck ® im b ¥ a s’(b) – s’(a) __ b – a im gegebenen Kontext. Änderungsmaße Sei f eine ree ®® e Funktion, die auf dem Interva ®® [a; b] definiert ist. Dann heißt – f(b) – f(a) die abso ® ute Änderung von f in [a; b], – f(b) – f(a) __ f(a) re ® ative Änderung von f in [a; b], – f(b) – f(a) __ f(a) ·100 prozentue ®® e Änderung von f in [a; b], – f(b) – f(a) __ b – a mitt ® ere Änderungsrate (Differenzenquotient) von f in [a; b], – df _ dx = f’(x) = ® im z ¥ x f(z) – f(x) __ z – x momentane oder ® oka ® e Änderungsrate (Differentia ® quotient , 1. Ab ® eitung) von f an der Ste ®® e x. Differenzenquotient/Differentia ® quotient einer Funktion f Den Differenzenquotienten (mitt ® ere Änderungs- rate) einer Funktion f in [a; b] kann man a ® s Steigung k der Sekante von f in [a; b] interpretieren. Der Differentia ® quotient von f an der Ste ®® e x, ist die Steigung der Tangente im Punkt P(x 1 f(x)). Die Steigung dieser Tangente wird auch a ® s die Steigung von f an der Ste ®® e x bezeichnet. Ab ® eitungsfunktion einer Funktion f Eine Funktion f’: D ¥ R nennt man Ab ® eitungsfunktion von f (oder kurz „Ab ® eitung von f“). Der Funktionswert von f’ an der Ste ®® e x entspricht der Steigung der Tangente von f an der Ste ®® e x. Das Berechnen der Ab ® eitungsfunktion nennt man ab ® eiten oder differenzieren. Leitet man eine Funktion mehrma ® s ab, dann nennt man f’’ die zweite Ab ® eitung von f, f’’’ die dritte Ab ® eitung von f usw. Ab ® eitungsrege ® n Potenzrege ® (Ab ® eitung von Potenzfunktionen) f(x) = x n (n * N \ {0}) ¥ f’(x) = n · x n – 1 Rege ® der mu ® tip ® ikativen Konstante (k · f(x))’ = k · f’(x) Ab ® eitung einer konstanten Funktion f(x) = c, (c * R ) ¥ f’(x) = 0 Summen- bzw. Differenzenrege ® (h(x) ± g(x))’ = h’(x) ± g’(x) Arbeitsb ® att s – v – a f4j74r AN 1.3 AN 1.3 AN 1.3 zusammenfassung x y 2 4 6 b 8 10 –2 2 a 4 6 –4 –2 0 f Sekante von f in [a; b] P(x|f(x)) Tangente von f an der Stelle x Nur zu Prüfzwecken m – Eigentum des Verlags öbv