Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke 46 Grundlagen der Differentialrechnung 2 Höhere Ab ® eitungen Es ist auch mög ® ich, eine Funktion öfter a ® s einma ® zu differenzieren. Dabei bezeichnet man mit f’’ die Ab ® eitung von f’, mit f’’’ die Ab ® eitung von f’’ usw. Höhere Ab ® eitungen Ist f: R ¥ R eine Funktion, dann nennt man f’(x) (f Strich) die erste Ab ® eitung von f, f’’ (x) (f zwei Strich) die zweite Ab ® eitung von f, f’’’ (x) (f drei Strich) die dritte Ab ® eitung von f, f IV die vierte Ab ® eitung von f. 149. Bi ® de die ersten vier Ab ® eitungen der Funktion f mit f(x) = 3 x 3 _ 5 – 3 _ 4 x 2 + 5 x – 7. f’(x) = 9 x 2 _ 5 – 3 _ 2 x + 5 f’’(x) = 18 x _ 5 – 3 _ 2 f’’’(x) = 18 _ 5 f IV (x) = 0 150. Bi ® de die ersten vier Ab ® eitungen der Funktion f. a) f(x) = ‒ 2 x 5 + 3 x 3 + 2 x 2 – 4 d) f(x) = ‒ 2 x 4 _ 7 + 3 _ 4 x 3 – 2 x – 1 b) f(x) = ‒ 3 x 6 + 12 x 3 – 5 x 2 – 3 x e) f(x) = ‒ 2 x 5 _ 7 + 3 _ 4 x 3 – 2 x 2 + x – 7 c) f(x) = x 5 + 12 x 4 – 6 x 3 + 2 x – 1 f) f(x) = 3 x 3 _ 5 – 3 _ 2 x 4 + x – 1 151. Leite die Funktion so oft ab, bis du eine konstante Funktion erhä ® tst. a) f(x) = ‒ 4 x 4 – 5 x 3 – x 2 – 4 x c) f(x) = ‒ 3 x 3 _ 8 + 3 _ 4 x 2 – 5 x + 7 b) f(x) = x 6 + 3 x 3 – 2 x 2 – x d) f(x) = ‒ 2 x 5 _ 3 + 1 _ 4 x 2 – x – 7 152. Erk ® äre, wie oft man eine Po ® ynomfunktion vom Grad n > 1 jedenfa ®® s ab ® eiten muss, bis eine Funktion der Form h(x) = 0 erhä ® ts. Begründe deine Entscheidung. Die höchste Hochzah ® der Potenz der unabhängigen Variab ® en in einer Po ® ynomfunktion gibt den Grad der Po ® ynomfunktion an. Die erste Ab ® eitung einer Funktion gibt die momentane Änderungsrate an. Die zweite Ab ® eitung gibt die momentane Änderungsrate der ersten Ab ® eitung an. Bei einer Zeit-Ort-Funktion s in Abhängigkeit von der Zeit, erhä ® t man, mit Hi ® fe der ersten Ab ® eitung, die momentane Geschwindigkeit v(t) zum Zeitpunkt t. Leitet man diese Geschwindigkeit noch einma ® ab s’’(t) = v’(t) , erhä ® t man die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t. Diese wird Besch ® eunigung a(t) genannt. 153. Gegeben ist die Zeit-Ort-Funktion s mit s(t) = 2 t 2 (s in Meter, t in Sekunden). Berechne die Geschwindigkeit und die Besch ® eunigung zum Zeitpunkt t = 3 s. v(t) = s’(t) = 4 t a(t) = v’(t) = s’’(t) = 4 v(3) = 12m/s a(3) = 4m/s 2 154. Gegeben ist die Zeit-Ort-Funktion s (s in Meter, t in Sekunden). Berechne die Geschwindigkeit und die Besch ® eunigung zum Zeitpunkt u. a) s(t) = 3 t 2 u = 3 c) s(t) = 0,3 t 2 + t u = 7 e) s(t) = 3 t 3 + 1 u = 2 b) s(t) = 2 t 2 u = 5 d) s(t) = 3 t 2 – 2 t u = 3 f) s(t) = 3 t + 1 u = 3 Techno ® ogie An ® eitung v8mu9e muster TIPP muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv