Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

45 Grundlagen der Differentialrechnung | Einfache Ableitungsregeln Leibniz’sche Schreibweise Sehr oft wird der Differenzen- und Differentia ® quotient auch anders angeschrieben. Diese Schreibweise geht auf Gottfried Wi ® he ® m Leibniz zurück und wird in den Naturwissenschaften oft verwendet. Dabei hat er fo ® gende Schreibweise verwendet: z – x = Δ x (De ® ta x) f(z) – f(x) = Δ y oder f(z) – f(x) = Δ f Mit Hi ® fe dieser Abkürzungen kann der Differenzen- und Differentia ® quotient umgeschrieben werden. Differenzenquotient Differentia ® quotient f(z) – f(x) __ z – x = Δ y _ Δ x f’(x) = ® im z ¥ x f(z) – f(x) __ z – x = ® im Δ x ¥ 0 Δ y _ Δ x = ® im Δ x ¥ 0 Δ f _ Δ x Nähert sich beim Differentia ® quotient z unbegrenzt der Zah ® x, so werden Δ y und Δ x immer k ® einer. Den Grenzwert, der bis jetzt mit f’(x) bezeichnet wurde, nannte Leibniz dy _ dx . Die Tei ® e dy und dx nannte er Differentia ® e und den Ausdruck dy _ dx Differentia ® quotient. Da die beiden Differentia ® e in diesem Zusammenhang a ® s Bruch keinen Sinn machen, wird der Ausdruck a ® s „dy nach dx“ ge ® esen. 144. Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x 3 – 3 x 2 + 5 x – 7. Berechne f’(x) und schreibe mit Hi ® fe der Leibniz’schen Schreibweise an. df _ dx = 3 x 2 – 6 x + 5 145. Berechne die erste Ab ® eitung der Funktion f und schreibe diese mit Hi ® fe der Leibniz’schen Schreibweise an. a) f(x) = x 3 – 3 x 2 + 5 x – 7 c) f(c) = c 8 – 4 c 3 + c – 2 b) f(a) = a 4 – 7a 2 + 5 a d) f(v) = ‒ 3 v 3 + 2 v 2 – 5 v + 1 146. Schreibe die Aussage in der Schreibweise von Leibniz an. a) U’(s) = ® im z ¥ s U(z) – U(s) __ z – s b) R’(t) = ® im z ¥ t R(z) – R(t) __ z – t c) V’(r) = ® im z ¥ r V(z) – V(r) __ z – r 147. Berechne die Ab ® eitung dS _ da und dS _ db der Funktion S mit S(a, b) = a 3 + 3 a 2 b + 3 b 3 . dS _ da bedeutet, dass die Funktion S nach a abge ® eitet und b wie eine Konstante behande ® t wird: S’(a) = dS _ da = 3 a 2 + 6 a b dS _ db bedeutet, dass die Funktion S nach b abge ® eitet und a wie eine Konstante behande ® t wird: S’(b) = dS _ db = 3 a 2 + 9 b 2 148. Berechne die gesuchten Ab ® eitungen. a) V(r, h) = r 2 π h dV _ dr , dV _ dh d) U(a, b) = a 2 + 2 a b + b 2 dU _ da , dU _ db b) V(r, h) = r 2 π + 2 r π h dV _ dr , dV _ dh e) A(x, y, z) = x 3 + x 2 y + x z 3 + x y dA _ dx , dA _ dy , dA _ dz c) R(r, h) = r 2 π h + h dR _ dr , dR _ dh f) A(x, y, z) = x 3 y 2 + x + y 3 + z 3 + x y z dA _ dx , dA _ dy , dA _ dz muster muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum S ( des Verlags öbv