Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

44 Grundlagen der Differentialrechnung 2 139. In einer Stadt kann die Temperatur T (in Grad Ce ® sius) eines bestimmten Tages zwischen 6 und 18 Uhr durch die Funktion T in Abhängigkeit von der Zeit (t in Stunden) beschrieben werden. T(t) = ‒ 0,01 t 3 + 0,15 t 2 + 1,17 t + 5,89 T(12) beschreibt z. B. die Temperatur zu Mittag. a) Skizziere den Graphen von T im Interva ®® [6; 18]. b) Berechne den Differenzenquotienten von T im Interva ®® [6; 18] und interpretiere das Ergebnis. c) Berechne die momentane Änderungsrate von T zu den Zeitpunkten t = 8, t = 12 und t = 17. Interpretiere die Ergebnisse im gegebenen Kontext. Was bedeutet eine negative momentane Änderungsrate von T? 140. Wird eine Kuge ® aus h 0 Meter Höhe mit einer Anfangsgeschwindigkeit von v 0 m/s ® otrecht nach oben geschossen, so ist ihre Höhe h nach t Sekunden ungefähr gegeben durch h(t) = ‒ 5 t 2 + v 0 t + h 0 . Die Kuge ® wird aus 80 Meter Höhe mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 30m/s geschossen. a) Berechne die Ab ® eitung von h und erk ® äre ihre Bedeutung im gegebenen Kontext. b) Berechne die mitt ® ere Änderungsrate von h in [1; 3] und [2; 7] und interpretiere die Ergebnisse. c) Nach we ® cher Zeit und mit we ® cher Geschwindigkeit ® andet die Kuge ® auf dem Boden? d) Nach wie vie ® Sekunden hat die Kuge ® eine momentane Geschwindigkeit von 15m/s erreicht? e) Überprüfe a ®® gemein, dass v 0 die Anfangsgeschwindigkeit und h 0 die Anfangshöhe ist. 141. Wird eine Kuge ® vom Boden mit einer Anfangsgeschwindigkeit von v 0 m/s ® otrecht nach oben geschossen, so ist ihre Höhe h nach t Sekunden ungefähr gegeben durch h(t) = ‒ 5 t 2 + v 0 t. a) Berechne die Ab ® eitung von h und erk ® äre ihre Bedeutung im gegebenen Kontext. b) Überprüfe a ®® gemein, dass v 0 die Anfangsgeschwindigkeit der Kuge ® ist. c) Nach we ® cher Zeit und mit we ® cher Geschwindigkeit ® andet die Kuge ® wieder auf dem Boden? 142. Ein Körper bewegt sich gemäß der Zeit-Ort Funktion s mit s(t) = 0,4 t 2 + t (t in Meter, s in Sekunden). a) Berechne den Differenzenquotienten von s im Zeitinterva ®® [1; 3] und interpretiere das Ergebnis im gegebenen Kontext. b) Berechne die Geschwindigkeit des Körpers zu den Zeitpunkten t = 3 s; 5 s; 8 s. c) Zu we ® chem Zeitpunkt hat der Körper eine Geschwindigkeit von 9m/s erreicht? d) Die Ab ® eitungsfunktion von s ® autet: s’(t) = 0,8 t + 1. Interpretiere den Wert 0,8 in der Ab ® eitungsfunktion von s. 143. a) Sei V(r) das Vo ® umen einer Kuge ® abhängig von ihrem Radius. Leite V einma ® nach ihrem Radius ab. Was fä ®® t dir auf? b) Sei A(r) der F ® ächeninha ® t eines Kreises abhängig von seinem Radius. Leite A einma ® nach seinem Radius ab. Was fä ®® t dir auf? c) Sei V(r) das Vo ® umen eines Zy ® inders mit konstanter Höhe abhängig von seinem Radius. Leite V einma ® nach seinem Radius ab. Was fä ®® t dir auf? d) Sei V(h) das Vo ® umen eines Zy ® inders mit konstantem Radius abhängig von seiner Höhe h. Leite V einma ® nach seiner Höhe ab. Was fä ®® t dir auf? Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv