Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

techno- logie 42 Grundlagen der Differentialrechnung 2 130. Bestimme die Funktionsg ® eichung der Tangente der Funktion f im Punkt (p/f(p)). a) f(x) = 3 x 2 – 3 x p = ‒ 4 d) f(x) = ‒ 2 x 3 + x 2 p = 0,5 b) f(x) = ‒ 4 x 2 + 12 x p = 1 e) f(x) = x 2 – 6 x + 9 p = ‒ 2 c) f(x) = 3 x 3 – 3 x 2 p = 1 f) f(x) = ‒12 x 3 p = 0 Funktionsg ® eichung der Tangente einer Funktion f an einer Ste ®® e p Geogebra Tangente(p,Funktion) Beispie ® : f(x) = 3 x 2 Tangente(2,f) y = 12 x – 12 131. Ermitt ® e jene Punkte des Graphen der Funktion f mit f(x) = x 3 – 3 x 2 + 5, in denen die Steigung der Tangente g ® eich 9 ist. Die Steigungen der Tangenten an die Funktion erhä ® t man mit Hi ® fe der ersten Ab ® eitung. f’(x) = 3 x 2 – 6 x Da jene Punkte gesucht sind, deren Tangente die Steigung 9 besitzen, muss ge ® ten: f’(x) = 9 ¥ 3 x 2 – 6 x = 9 ¥ x 2 – 2 x – 3 = 0 Durch Lösen der G ® eichung erhä ® t man x 1 = ‒1 und x 2 = 3. Durch Einsetzen in die Funktion f erhä ® t man die y-Werte und somit die gesuchten Punkte. f(‒1) = 1 f(3) = 5 ¥ P 1 = (‒1 1 1) P 2 = (3 1 5) 132. Ermitt ® e jene Punkte des Graphen der Funktion f, in denen die Steigung der Tangente g ® eich r ist. a) f(x) = 6 x 2 – 12 x r = 4 c) f(x) = ‒ 3 x 3 + 9 x 2 + 4 r = ‒ 216 b) f(x) = ‒ 2 x 2 + 15 x – 4 r = ‒ 9 d) f(x) = x 3 – 6 x 2 r = ‒ 9 133. Bestimme a ®® e Punkte auf dem Graphen der Funktion f mit f(x) = x 4 – 38 x 2 + 5, in denen die Tangente para ®® e ® zur Geraden g mit 120 x + y = ‒ 3 ist. Zwei Geraden sind para ®® e ® , wenn sie diese ® be Steigung besitzen. Aus diesem Grund muss zuerst die Steigung von g abge ® esen werden: g: y = ‒120 x – 3 ¥ k = ‒120 Um nun a ®® e Punkte auf dem Graphen von f zu finden, in denen die Steigung der Tangente ‒120 ist, muss die erste Ab ® eitung von f gebi ® det werden. Ansch ® ießend setzt man f’(x) g ® eich der Steigung k: f’(x) = 4 x 3 – 76 x ¥ ‒120 = 4 x 3 – 76 x Durch Lösen der G ® eichung mit z. B. Po ® ynomdivision oder Techno ® ogie erhä ® t man: x 1 = ‒ 5 x 2 = 2 x 3 = 3 Durch Einsetzen der x-Werte in die Funktion erhä ® t man die Funktionswerte und damit die gesuchten Punkte: f(‒ 5) = ‒ 320 f(2) = ‒131 f(3) = ‒ 256 P 1 = (‒ 5 1 ‒ 320) P 2 = (2 1 ‒131) P 3 = (3 1 ‒ 256) 134. Bestimme a ®® e Punkte auf dem Graphen der Funktion f, in denen die Tangente para ®® e ® zur Geraden g ist. a) f(x) = x 2 – 5 x + 4 g: x – 2 y = 3 c) f(x) = x 3 _ 3 – 7x 2 _ 2 + 3 x + 4 g: 81 x + 9 y = 5 b) f(x) = 3 x 2 – 2 x + 6 g: 3 x = 5 + 3 y d) f(x) = x 4 _ 4 – 2 x 3 – 9 x 2 _ 2 + 1 g: ‒14 x = 5 + y Techno ® ogie An ® eitung Tangenten xh98rg muster muster Nur zu Prüfzw cken – Eigentum x des Verlags öbv