Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

techno- logie Merke 40 Grundlagen der Differentialrechnung 2 117. Bi ® de die Ab ® eitungsfunktion der Funktion f mit f(x) = x 7 und gib die Steigung der Tangente von f an der Ste ®® e ‒ 2 an. Um die Ab ® eitungsfunktion zu bi ® den, wird die Potenzrege ® verwendet: f’(x) = 7x 7 – 1 = 7x 6 . Da man mit Hi ® fe der Ab ® eitung die Steigung der Tangente von f an der Ste ®® e ‒ 2 berechnen kann, gi ® t: k = f’(‒ 2) = 7· (‒ 2) 5 = 7· (‒ 32) = ‒ 224. 118. Bi ® de die Ab ® eitungsfunktion der Funktion f und gib die Steigung der Tangente von f an der Ste ®® e ‒1 an. a) f(x) = x 5 c) f(x) = x 3 e) f(x) = x 9 g) f(x) = x 34 i) f(x) = x 12 b) f(x) = x 4 d) f(x) = x 6 f) f(x) = x 11 h) f(x) = x 25 j) f(x) = x 2 119. Die Ab ® eitungsfunktion der Funktion f: R ¥ R mit f(x) = x ist gegeben durch f’(x) = 1. a) Erk ® äre die Richtigkeit der Aussage mit Hi ® fe des Differentia ® quotienten. b) Erk ® äre die Richtigkeit der Aussage mit Hi ® fe der Potenzrege ® . c) Erk ® äre die Richtigkeit der Aussage mit Hi ® fe der geometrischen Interpretation des Differentia ® quotienten. Um auch Ausdrücke der Form f(x) = 2 x 3 + 12 x + 8 ab ® eiten zu können, werden weitere Rege ® n benötigt. (Beweis der Rege ® n 1 und 3 sind auf Seite 268 zu finden. Rege ® 2 wird in Aufgabe 123 bewiesen.) Ab ® eitungsrege ® n – Rege ® der mu ® tip ® ikativen Konstante f(x) = k · g(x), (k * R ) ¥ f’(x) = k · g’(x) Beispie ® : f(x) = 3 · x 4 f’(x) = 3 · 4 · x 3 = 12 · x 3 – Ab ® eitung einer konstanten Funktion f(x) = c, (c * R ) ¥ f’(x) = 0 Beispie ® : f(x) = 10 f’(x) = 0 – Summen- bzw. Differenzenrege ® f(x) = g(x) ± h(x) ¥ f’(x) = g’(x) ± h’(x) Beispie ® : f(x) = x 2 + x 3 f’(x) = 2 x + 3 x 2 120. Bi ® de die Ab ® eitungsfunktion der Funktion f mit f(x) = 3 x 4 + 7x 2 + 3 x – 9. Zur Ab ® eitung dieser Funktion werden a ®® e obigen Rege ® n benötigt: f’(x) = 3 · 4 x 3 + 7· 2 x + 3 = 12 x 3 + 14 x + 3 Berechnen der Ab ® eitungsfunktion einer Funktion f Geogebra f’(x) Beispie ® : f(x): = 3 x 2 + 3 f’(x) 6 x TI-Nspire d _ dx (f(x)) Beispie ® : f(x): = 3 x 2 + 3 d _ dx (f(x)) 6 x 121. Bi ® de die Ab ® eitungsfunktion der Funktion f und erk ® äre, we ® che Rege ® n du verwendet hast. a) f(x) = 4 x 3 c) f(x) = ‒ 8 x 6 e) f(x) = 5 x 9 g) f(x) = 3 _ 4 x 21 i) f(x) = 7x 12 _ 4 b) f(x) = ‒ 5 x 4 d) f(x) = ‒ 2 x 7 f) f(x) = ‒ 0,5 x 11 h) f(x) = ‒ 7 _ 5 x 25 j) f(x) = ‒ 2 x 9 _ 18 muster muster Techno ® ogie An ® eitung Berechnung der Ab ® eitungsfunktion bk6c5m Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv