Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke Merke 39 kompe- tenzen 2.3 Einfache Ab ® eitungsrege ® n Lernzie ® e: º Die Ab ® eitungsfunktion einer Funktion definieren, interpretieren und bi ® den können º Die Potenzrege ® , Summenrege ® , Differenzenrege ® anwenden können º Die G ® eichung der Tangente an eine Funktion an einer Ste ®® e aufste ®® en können º Höhere Ab ® eitungen bi ® den können º Die Schreibweise von Leibniz anwenden können Grundkompetenzen für die schrift ® iche Reifeprüfung: AN 1.3 Den Differenzen- und Differentia ® quotienten in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverha ® te durch den Differenzen- bzw. Differentia ® quotienten beschreiben können AN 2.1 Einfache Rege ® n des Differenzierens kennen und anwenden können: Potenzrege ® , Summenrege ® , Rege ® n für [k · f(x)]’ […] AN 3.1 Den Begriff Ab ® eitungsfunktion […] kennen und zur Beschreibung von Funktionen einsetzen können Das Berechnen des Differentia ® quotienten kann recht aufwändig sein. Um diese Berechnung zu vereinfachen, kann man mit Hi ® fe von Rege ® n die Ab ® eitungsfunktion von f bi ® den. Ab ® eitungsfunktion einer Funktion f Die Funktion f’: D ¥ R nennt man Ab ® eitungsfunktion von f (oder kurz Ab ® eitung von f). Der Funktionswert von f’ an der Ste ®® e x entspricht der Steigung der Tangente von f an der Ste ®® e x. Das Berechnen der Ab ® eitungsfunktion nennt man ab ® eiten oder differenzieren . 115. Berechne die Ab ® eitungsfunktion von f mit f(x) = x 5 . Durch Anwendung der Rege ® von Horner und ansch ® ießendem Kürzen erhä ® t man: f’(x) = ® im z ¥ x z 5 – x 5 _ z – x = ® im z ¥ x (z – x) · (z 4 + z 3 x + z 2 x 2 + z x 3 + x 4 ) _____ z – x = x 4 + x 3 · x + x 2 · x 2 + x · x 3 + x 4 = 5 x 4 116. Bi ® de die Ab ® eitungsfunktion von f mit Hi ® fe des Differentia ® quotienten. a) f(x) = x 2 b) f(x) = x 3 c) f(x) = x 4 d) f(x) = x 5 e) f(x) = x 7 Wendet man die Definition des Differentia ® quotienten auf eine Potenzfunktion f mit f(x) = x n (n * N \ {0}) an, so erhä ® t man die Potenzrege ® . Potenzrege ® (Ab ® eitung von Potenzfunktionen) Die Ab ® eitungsfunktion einer Funktion f: R ¥ R mit f(x) = x n (n * N \ {0}) ist gegeben durch: f’(x) = n · x n – 1 Beweis: Es gi ® t: f’(x) = ® im z ¥ x f(z) – f(x) __ z – x = ® im z ¥ x z n – x n _ z – x Durch Anwendung der Rege ® von Horner erhä ® t man: f’(x) = ® im z ¥ x z n – x n _ z – x = ® im z ¥ x (z – x) · (z n – 1 + z n – 2 x + z n – 3 x 2 + … + z 1 x n – 2 + x n – 1 ) _______ z – x = ® im z ¥ x (z n – 1 + z n – 2 x + z n – 3 x 2 + … + z 1 x n – 2 + x n – 1 ) = x n – 1 + x n – 2 x + … + x x n – 2 + x n – 1 . Fasst man obigen Ausdruck zusammen erhä ® t man: f’(x) = n · x n – 1 . muster Nur zu ( Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv