Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke 36 Grundlagen der Differentialrechnung 2 Geometrische Interpretation des Differentia ® quotienten – Steigung der Tangente Wie kann der Differentia ® quotient geometrisch interpretiert werden? In der ersten Abbi ® dung sieht man eine Funktion f, zwei Punkte X und Z sowie die Sekante von f in [x; z]. Um den Differentia ® quotienten geometrisch interpretieren zu können, ® ässt man den Punkt Z ent ® ang der Funktion f immer näher in Richtung X „wandern“ (verg ® eiche mitt ® ere Abbi ® dung). Theoretisch nähert sich der Punkt unend ® ich nahe dem Punkt X an. Eine Grenzgerade entsteht. Man nennt diese die Tangente von f an der Ste ®® e x (verg ® eiche rechte Abbi ® dung). Die Steigung dieser Grenzgeraden entspricht dann dem Differentia ® quotienten von f an der Ste ®® e x. Geometrische Interpretation des Differentia ® quotienten Der Differentia ® quotient von f an der Ste ®® e x ist die Steigung der Tangente im Punkt P = (x 1 f(x)). Man schreibt: k = f’(x) = ® im z ¥ x f(z) – f(x) __ z – x . Umgekehrt versteht man unter der Tangente einer Funktion f an der Ste ®® e x jene Gerade, die durch den Punkt P = (x 1 f(x)) geht und die Steigung f’(x) besitzt. Die Steigung dieser Tangente wird oft auch a ® s die Steigung von f an der Ste ®® e x bezeichnet. 106. In der Abbi ® dung sieht man den Graphen von f, sowie die Tangente an der Ste ®® e p. Gib den Differentia ® quotienten von f an der Ste ®® e p an. a) b) c) 107. Berechne den Differentia ® quotienten von f mit f(x) = x 2 – 3 x + 1 an der Ste ®® e 2 und ste ®® e die Funktionsg ® eichung der Tangente von f an der Ste ®® e 2 auf. Zuerst wird die Steigung der Tangente an der Ste ®® e 2mit Hi ® fe des Differentia ® quotienten berechnet: k = f’(2) = ® im z ¥ 2 f(z) – f(2) __ z – 2 = ® im z ¥ 2 z 2 – 3 z + 1 + 1 __ z – 2 = ® im z ¥ 2 z 2 – 3 z + 2 __ z – 2 = ® im z ¥ 2 (z – 1) = 1. (Der Zusammenhang z 2 – 3 z + 2 __ z – 2 = z – 1 kann z. B. mitte ® s Po ® ynomdivision erkannt werden.) Um die Tangenteng ® eichung zu bestimmen, muss noch der Funktionswert an der Ste ®® e 2 ermitte ® t werden. Setzt man dann a ®® e Informationen in t(x) = k x + d ein, erhä ® t man d: f(2) = ‒1 ¥ ‒1 = 1 · 2 + d ¥ d = ‒ 3 ¥ t(x) = x – 3 Techno ® ogie Darste ®® ung Tangentenprob ® em 42xh53 x f(x) 2 4 6 8 10 –2 4 6 –4 –2 0 X = (x 1 f(x)) Z = (z 1 f(z)) z – x f(z) – f(x) f x f(x) 2 4 6 8 10 –2 2 4 6 –4 –2 0 X f x f(x) 2 4 6 8 10 –2 2 4 6 –4 –2 0 X Tangente von f an der Stelle x f AN 1.3 x p f(x) 2 4 6 –2 2 –4 –2 0 f x f(x) 2 4 –4 –2 2 –4 –2 0 f p x f(x) 2 –6 –4 2 4 –2 0 f p –2 muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv