Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

techno- logie 35 Grundlagen der Differentialrechnung | Der Differentialquotient 101. Ein Körper bewegt sich gemäß der Zeit-Ort-Funktion s. Kreuze die zutreffende(n) Aussage(n) an. A Der Differenzenquotient von s in [a; b] gibt den zurückge ® egten Weg des Körpers im Interva ®®  [a; b] an.  B Der Differentia ® quotient von s zum Zeitpunkt u gibt die momentane Änderungsrate von s zum Zeitpunkt u an.  C Mitte ® s s(b) – s(a) __ b – a kann die mitt ® ere Geschwindigkeit des Körpers im Interva ®®  [a; b]  berechnet werden.  D Die momentane Geschwindigkeit von s zum Zeitpunkt h erhä ® t man durch ® im t ¥ h _ v(h; t) =   ® im t ¥ h s(t) – s(h) __ t – h  E Die abso ® ute Änderung und der Differentia ® quotient sind immer g ® eich.  102. Neben der bekannten Definition für den Differentia ® quotienten einer Funktion f an der Ste ®® e x wird oft auch eine andere Schreibweise verwendet: f’(x) = ® im u ¥ 0 f(x + u) – f(x) __ u . a) Schreibe den Differentia ® quotienten der Zeit-Ort-Funktion s mit s(t) = 5 t 2 zum Zeitpunkt t = 5 in obiger Schreibweise an. b) Wie erhä ® t man aus obiger Forme ® die Forme ® f’(x) = ® im z ¥ x f(z) – f(x) __ z – x ? Berechnen der momentanen Änderungsrate Um die momentane Änderungsrate von s mit s(t) = 5 t 2 zum Zeitpunkt t = 4 s zu berechnen, wird ein Trick verwendet, um die Division durch 0 zu vermeiden. s’(4) = v(4) = ® im t ¥ 4 _ v(4; t) = ® im t ¥ 4 s(t) – s(4) __ t – 4 = ® im t ¥ 4 5 t 2 – 80 __ t – 4 Durch Herausheben und Anwendung der binomischen Forme ® erhä ® t man: s’(4) = ® im t ¥ 4 5(t – 4)(t + 4) __ t – 4 = ® im t ¥ 4 (5 t + 20) = 40m/s Mit Hi ® fe dieses Tricks konnte der Grenzwert berechnet werden. 103. Gegeben ist eine Zeit-Ort-Funktion s (in Meter) in Abhängigkeit von t (in Sekunden). Berechne die momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 4 Sekunden. a) s(t) = 0,5 t 2 + t b) s(t) = 5 t 2 + 15 t c) s(t) = 0,5 t 2 + 1,5 t d) s(t) = 5 t 2 + 10 t 104. Bestimme die momentane Änderungsrate einer ® inearen Funktion f mit f(x) = k x + d. 105. Das Vo ® umen einer Kuge ® ist abhängig von ihrem Radius. Berechne die momentane Änderungsrate des Kuge ® vo ® umens für den gegebenen Radius. a) r = 3 cm b) r = 7cm c) r = 8 cm d) r = 9 cm e) r = u cm Verwende zur Berechnung des Differentia ® quotienten z. B. eine Po ® ynomdivision. Berechnen eines Differentia ® quotienten einer Funktion f an der Ste ®® e u Geogebra f’(u) Beispie ® : f(x) = 3 x 2 + 3 f’(2) = 12 TI-Nspire d _ d(x) (f(x)) † x = u Beispie ® : f(x): = 3 x 2 + 3 d _ d(x) (f(x)) † x = 2 ¥ 12 AN 1.3 Arbeitsb ® att Differentia ® quotient – Schreibweise pq7e7z Techno ® ogie Darste ®® ung Differentia ® quotient – Darste ®® ungen s5x9xa Arbeitsb ® att Berechnen des Differentia ®- quotienten 9nt5nx TIPP Techno ® ogie An ® eitung Berechnen des Differentia ®- quotienten yx39a9 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags ® öbv