Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke 34 Grundlagen der Differentialrechnung 2 Man schreibt: s’(4) = v(4) = ® im t ¥ 4 _ v(4; t) = ® im t ¥ 4 s(t) – s(4) __ t – 4 Setzt man a ®® erdings t = 4 in obiger Rechnung ein, würde man durch 0 dividieren. In den fo ® genden Aufgaben wird der Grenzwert vermutet. Auf Seite 35 wird ein Trick eingeführt, mit we ® chem man die momentane Änderungsrate für Po ® ynomfunktionen berechnen kann. Die momentane Änderungsrate kann auf fo ® gende Weise interpretiert werden: Würde man mit dieser Geschwindigkeit weiterfahren, dann würde man 40 Meter in der Sekunde zurück ® egen. Die momentane Änderungsrate kann auf Funktionen erweitert werden. Der Differentia ® quotient Sei f eine ree ®® e Funktion, dann heißt f’(x) = ® im z ¥ x f(z) – f(x) __ z – x momentane (oder ® oka ® e) Änderungsrate (Differentia ®- quotient) oder 1. Ab ® eitung von f an der Ste ®® e x. Sei s eine Zeit-Ort-Funktion, dann heißt v(t) = s’(t) = ® im z ¥ t s(z) – s(t) __ z – t momentane Geschwindigkeit von s zum Zeitpunkt t. 96. Gegeben ist eine Zeit-Ort-Funktion s (in Meter) in Abhängigkeit von t (in Sekunden). Berechne näherungsweise die momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 3 Sekunden. a) s(t) = 0,6 t 2 + 2 t b) s(t) = 5 t 2 + 20 t c) s(t) = 0,5 t 2 + 1,5 t d) s(t) = 5 t 2 + 10 t 97. Gegeben ist eine Zeit-Ort-Funktion s (in Meter) mit s(t) = 5 t 2 + 0,5 t (t in Sekunden). Berechne die gegebenen Ausdrücke näherungsweise. a) v(3) b) s’(2) c) ® im z ¥ 5 s(z) – s(5) __ z – 5 d) ® im z ¥ 1 s(z) – s(1) __ z – 1 e) ® im r ¥ 0 s(4 + r) – s(4) __ r f) ® im u ¥ 0 s(6 + u) – s(6) __ u 98. Ein Ba ®® wird ® otrecht nach oben geschossen. Seine Höhe (in m) nach t Sekunden ist ungefähr gegeben durch h(t) = 30 t – 5 t 2 . a) Gib eine Vermutung an für die momentane Geschwindigkeit des Ba ®® s zum Zeitpunkt t = 2 Sekunden mit Hi ® fe der Berechnung von Differenzenquotienten in den Interva ®® en [2; 3], [2; 2,5], [2; 2,1], [2; 2,000001]. b) Gib eine Vermutung an für die momentane Geschwindigkeit des Ba ®® s zum Zeitpunkt t = 3 Sekunden mit Hi ® fe der Berechnung von Differenzenquotienten. 99. Eine Kuge ® wird von der Dachkante eines Gebäudes ® otrecht nach oben geschossen. Nach t Sekunden hat sie die Höhe h erreicht (h in m). 1) Berechne näherungsweise mit Hi ® fe von sehr k ® einen Interva ®® en die Anfangsgeschwindig- keit, mit der die Kuge ® abgeschossen wurde. 2) Nach wie vie ® Sekunden sch ® ägt die Kuge ® auf dem Boden auf? Berechne näherungsweise die Aufpra ®® geschwindigkeit der Kuge ® . a) h(t) = 105 + 20 t – 5 t 2 c) h(t) = 180 + 45 t – 5 t 2 b) h(t) = 40 + 35 t – 5 t 2 d) h(t) = 70 + 25 t – 5 t 2 100. Aus einem Gefäß rinnt Wasser heraus. Der Inha ® t V (in Liter) des Gefäßes nach t Sekunden ist durch V(t) gegeben. 1) Nach wie vie ® en Sekunden ist das Gefäß ® eer? 2) Berechne die momentane Änderungsrate von V zum Zeitpunkt t = 3 s näherungsweise (mit Hi ® fe von k ® einen Interva ®® en) und interpretiere das Ergebnis. a) V(t) = (50 – t) 2 b) V(t) = ‒ t 2 + 900 c) V(t) = ‒ 2 t 2 + 98 Techno ® ogie Darste ®® ung Differentia ® quotient 9f3vy5 AN 1.2 AN 1.2 Nur zu Prüfzwecken m – Eigentum des Verlags öbv