Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

33 kompe- tenzen 2.2 Der Differentia ® quotient Lernzie ® e: º Den Differentia ® quotienten definieren und anwenden können º Den Differentia ® quotienten a ® s momentane Änderungsrate in verschiedenen Kontexten interpretieren können º Den Differentia ® quotienten geometrisch deuten können Grundkompetenzen für die schrift ® iche Reifeprüfung: AN 1.1 Abso ® ute und re ® ative (prozentue ®® e) Änderungsmaße unterscheiden und angemessen verwenden können AN 1.2 Den Zusammenhang Differenzenquotient (mitt ® ere Änderungsrate) – Differentia ® quotient („momentane“ Änderungsrate) auf der Grund ® age eines intuitiven Grenzwertbegriffes kennen und damit (verba ® sowie in forma ® er Schreibweise) auch kontextbezogen anwenden können AN 1.3 Den Differenzen- und Differentia ® quotienten in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverha ® te durch den Differenzen- bzw. Differentia ® quotienten beschreiben können 95. Führe eine Po ® ynomdivision durch oder verwende – wenn mög ® ich – die Rege ® von Horner. a) x 3 – 8 _ x – 2 b) x 4 – 16 _ x – 2 c) x 3 – 2 x 2 – 19 x + 20 ___ x – 5 d) x 3 + 14 x 2 + 5 x – 308 ___ x + 7 Die momentane Änderungsrate Fährt man mit dem Auto zu schne ®® , dann kann es vorkommen, dass man einen Strafzette ® bekommt. Entweder wird man von einem Po ® izisten mit der Radarpisto ® e oder von einem fix aufgeste ®® ten Radar erwischt. Es könnte z. B. passieren, dass man um 20 km/h zu schne ®® gefahren ist. Man spricht von der „momentanen“ Geschwindigkeit. Bei Musteraufgabe 78 wurde die durchschnitt ® iche Geschwindigkeit eines Springers beim Bungee-Jumping berechnet. Für den zurückge ® egten Weg des Springers (wenn man den Luftwiderstand nicht berücksichtigt) gi ® t s(t) = 5 t 2 (t in Sekunden, s in Meter). Um die momentane Änderungsrate des Springers zum Zeitpunkt t = 4 s zu berechnen, kann der Differenzenquotient a ® s Annäherung verwendet werden. Dabei kann man z. B. mit dem Interva ®® [4; 5] beginnen und dieses immer k ® einer machen: _ v(4; 5) = s(5) – s(4) __ 5 – 4 = 45m/s, _ v(4; 4,1) = s(4,1) – s(4) __ 4,1 – 4 = 40,5m/s _ v(4; 4,5) = s(4,5) – s(4) __ 4,5 – 4 = 42,5m/s _ v(4; 4,01) = s(4,01) – s(4) __ 4,01 – 4 = 40,05m/s _ v(4; 4,2) = s(4,2) – s(4) __ 4,2 – 4 = 41m/s _ v(4; 4,0001) = s(4,0001) – s(4) __ 4,0001 – 4 = 40,0005m/s Man könnte vermuten, dass 40m/s die momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 4 s ist. Je k ® einer man das Interva ®® um 4 wäh ® t, desto mehr nähert sich die mitt ® ere Geschwin- digkeit dem Wert 40m/s an. Um diese Erkenntnis auch forma ® ausdrücken zu können, werden der Grenzwertbegriff und eine weitere Schreibweise benötigt. Die momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 4 wird mit s’(4) abgekürzt und a ® s Differentia ® quotient von s zum Zeitpunkt 4 bezeichnet. vorwissen Nur L zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv