Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke Merke 30 Grundlagen der Differentialrechnung 2 Der Differenzenquotient – die Steigung der Sekante In Lösungswege 6 wurde bereits der Differenzen- quotient einer ® inearen Funktion berechnet. Die Steigung einer ® inearen Funktion entspricht der Veränderung des Funktionswerts, wenn man das Argument um eins vergrößert. Daher ist diese Steigung k auch der Differenzenquotient der ® inearen Funktion in jedem be ® iebigen Interva ®® [a; b]. Dies kann auf fo ® gende Art überprüft werden: Sei f mit f(x) = k x + d eine ® ineare Funktion. Für den Differenzenquotienten von f in [a; b] gi ® t: f(b) – f(a) __ b – a = k b + d – (k a + d) ___ b – a = k · (b – a) __ b – a = k Der Differenzenquotient einer ® inearen Funktion Der Differenzenquotient (mitt ® ere Änderungsrate) einer ® inearen Funktion f in [a; b] entspricht der Steigung k der ® inearen Funktion. 83. Bestimme den Differenzenquotienten der Funktion f im Interva ®® [a; b] (a < b). a) f(x) = 12 x – 4 c) f(x) = ‒ 4 x + 1 e) f(x) = r x + t g) f(r) = r x + t b) f(x) = 12 – 4 x d) f(x) = 1 – 45 x f) f(x) = v – z x h) f(t) = r x + t Betrachtet man eine be ® iebige nicht ® ineare Funktion, so kann man den Differenzenquotienten im Interva ®® [a; b] auch a ® s Steigung k einer ® inearen Funktion interpretieren, die durch die Punkte (a 1 f(a)) und (b 1 f(b)) geht. Diese ® ineare Funktion s wird Sekante von f in [a; b] genannt. Die Steigung der Sekante k wird auch a ® s mitt ® ere Änderungsrate der Funktion f im Interva ®® [a; b] bezeichnet. Geometrische Interpretation des Differenzenquotienten einer Funktion f in [a; b] Den Differenzenquotienten oder die mitt ® ere Änderungsrate einer Funktion f kann man a ® s Steigung k der Sekante von f in [a; b] interpretieren. Diese Steigung entspricht dann der mitt ® eren Änderung der Funktionswerte von f, wenn das Argument um 1 erhöht wird. 84. a) Berechne den Differenzenquotienten von f in [1; 10] und interpretiere diesen. b) Ste ®® e die Funktionsg ® eichung der Sekante von f in [1; 10] auf. a) Es gi ® t f(1) = 1 und f(10) = ‒1. f(10) – f(1) __ 10 – 1 = ‒1 – 1 _ 9 = ‒ 2 _ 9 Vergrößert man das Argument von f im Interva ®® [1; 10] um 1, dann wird der Funktionswert im Mitte ® um 2 _ 9 k ® einer (oder die Funktion f fä ®® t in [1; 10] im Mitte ® um 2 _ 9 ). x f(x) 1 2 3 4 5 –3 –2 – 1 1 2 3 – 1 0 1 k 1 k 1 k f b – a x f(x) f s f(a) f(b) a b f(b) – f(a) Techno ® ogie Darste ®® ung Sekantensteigung 8mb66c muster x f(x) 2 4 6 8 10 12 14 2 4 –2 0 f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv