Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke 29 Grundlagen der Differentialrechnung | Der Differenzenquotient Der Differenzenquotient – die mitt ® ere Geschwindigkeit 78. Beim Bungee-Jumping gi ® t für den zurückge ® egten Weg des Springers (wenn man den Luftwiderstand nicht berücksichtigt) s(t) = 5 t 2 (t in Sekunden, s in Meter). a) Berechne die mitt ® ere Geschwindigkeit im Zeitinterva ®® [0; 3] und [3; 7]. b) Berechne die mitt ® ere Geschwindigkeit im Zeitinterva ®® [t 1 ; t 2 ]. a) Die mitt ® ere Geschwindigkeit im Interva ®® [0; 3] wird mit _ v(0; 3) abgekürzt und durch zurückge ® egter Weg (in Meter) ____ vergangene Zeit (in Sekunden) = s(3) – s(0) __ 3 – 0 , a ® so dem Differenzenquotienten, berechnet: _ v(0; 3) = 45 – 0 _ 3 – 0 = 15m/s. b) _ v(t 1 ; t 2 ) = s(t 2 ) – s(t 1 ) __ t 2 – t 1 = 5 t 2 2 – 5 t 1 2 __ t 2 – t 1 = 5 · (t 2 – t 1 ) · (t 2 + t 1 ) ___ t 2 – t 1 = 5 · (t 2 + t 1 )m/s Der Differenzenquotient – die mitt ® ere Geschwindigkeit Bewegt sich ein Körper gemäß der Zeit-Ort-Funktion s in Abhängigkeit von t, dann wird der Differenzenquotient im Interva ®® [t 1 ; t 2 ] zur Berechnung der mitt ® eren Geschwindigkeit verwendet: mitt ® ere Geschwindigkeit im Zeitinterva ®® [t 1 ; t 2 ]: _ v(t 1 ; t 2 ) = s(t 2 ) – s(t 1 ) __ t 2 – t 1 79. Wird ein Ba ®® mit einer Abschussgeschwindigkeit von 45m/s vom Boden ® otrecht nach oben geschossen, so ist seine Höhe h (in m) nach t Sekunden ungefähr gegeben durch h(t) = 45 t – 5 t 2 . a) Berechne die mitt ® ere Geschwindigkeit des Ba ®® s in den Interva ®® en [0; 2] bzw. [2; 4]. b) Berechne den Differenzenquotienten von h in den Interva ®® en [4; 5] bzw. [4; 8] und interpretiere die Ergebnisse im vor ® iegenden Kontext. 80. Ein Stein wird vom Rand einer K ® ippe ® otrecht nach oben geschossen. Nach t Sekunden hat er die Höhe (gemessen zur Meeresoberf ® äche) h(t) = 85 + 35 t – 5 t 2 erreicht (h in m, t in Sekunden). a) Berechne die mitt ® ere Geschwindigkeit des Steins in den Interva ®® en [0; 2] bzw. [1; 3]. b) Berechne den Differenzenquotienten von h im Interva ®® [4; 5] bzw. [4; 8] und interpretiere die Ergebnisse im vor ® iegenden Kontext. 81. In der vor ® iegenden Tabe ®® e sieht man die Abfahrts- und Ankunftszeiten eines Zuges. Die Entfernung zwischen den Stationen A und B beträgt u km, zwischen B und C v km. Berechne die mitt ® eren Geschwindigkeiten für die einze ® nen Streckenabschnitte. a) Bahnhof Ankunft Abfahrt b) Bahnhof Ankunft Abfahrt A 14:32 u = 65 A 11:35 u = 114 B 15:05 15:15 v = 88 B 13:08 13:15 v = 152 C 16:02 C 16:14 82. Die Funktion s mit s(t) = 0,6 t 2 + 2 t (s in m, t in Sekunden) beschreibt den zurückge ® egten Weg eines Radfahrers in den ersten 15 Sekunden. Berechne den Differenzenquotienten der Funktion s im Interva ®® [0; 7] und interpretiere dieses Ergebnis im gegebenen Kontext. Techno ® ogie Darste ®® ung Berechnung des Differenzen- quotienten c7i9ei muster Arbeitsb ® att mitt ® ere Geschwindigkeit w4g4kt AN 1.3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv