Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

280 Anhang Lösungen Selbstkontrolle 581. 7 Erweiterung der Differentia ® rechnung 646. f’(x) = 324 x 3 647. f’(x) = 2 x + 1 648. f’(x) = e x · (x + 5) 649. f’(x) = ‒x 2 – 6x – 5 __ (x 2 – 5) 2 650. 1-E, 2-B, 3-D, 4-A 651. C 652. a) f’(x) = ‒ 3 sin(3 x) b) f’(x) = ‒ 2 sin(2 x) – 5 cos(5 x) c) f’(x) = 2 sin(2 x) + 6 cos(6 x) 653. C, E 654. a) f’(x) = ‒12 _ x 5 – 1 _ 2 9 _ x b) f’(x) = 15 x ‒6 – 7 _ 3 9 __ x 10 – 24 x 655. f’(x) = ‒3x 2 – 4x __ 2· 9 __ ___ (x 3 + 2x 2 ) 3 656. 1) D = R \{‒1} 2) Schnittpunkte mit der x-Achse: N = (9 1 0) 3) keine Extremste ®® en 4) (‒ • ; ‒1) und (‒1; • ) streng monoton steigend 5) keine Wendeste ®® en 6) Angabe der Krümmungsinterva ®® e: (‒ • ; ‒1) ® inks gekrümmt (‒1; • ) rechts gekrümmt 7) es gibt keine Wendetangenten 8) Asymptoten: a 1 : x = ‒1 a 2 : y = 1 657. a) nicht stetig an der Ste ®® e 1 b) stetig auf ganz R 658. stetig an der Ste ®® e x 1 , an den Ste ®® en x 2 , x 3 , x 4 unstetig 659. Eine Funktion f:D ¥ R heißt an einer Ste ®® e p (p * D) differenzierbar, wenn f’(p) = ® im x ¥ p f(x) – f(p) __ x – p existiert. Eine Funktion heißt differenzierbare Funktion, wenn sie an jeder Ste ®® e ihres Definitions- bereichs differenzierbar ist. 660. f ist an der Ste ®® e ‒ 4 nicht differenzierbar, da der Graph von f an dieser Ste ®® e einen Knick besitzt und der Differentia ® quotient an dieser Ste ®® e nicht existiert. 8 Anwendungen der Differentia ® rechnung 720. K’(x) = 0,06 x 2 + 25 x Die Grenzkostenfunktion gibt näherungsweise den Kostenzuwachs für eine zusätz ® ich produzierte Mengeneinheit an. 721. Betriebsoptimum: 2,79ME Das Betriebsoptimum gibt die Produktionsmenge an, bei der die Stückkosten minima ® sind. 722. Die Gewinnfunktion ist die Differenz zwischen der Er ® ös- und den Kostenfunktion: G(x) = E(x) – K(x) Der Break-even-point gibt die Produktionsmenge an, ab der der Betrieb einen Gewinn macht. Die Gewinn- grenze ist die Produktionsmenge, ab der der Betrieb wieder Ver ® uste macht. 723. r = 5 9 _ 6 _ 3 ≈ 4,08 cm; h = 10 9 _ 6 _ 3 ≈ 8,16 cm Da r aber maxima ® 3,5 cm sein darf, gi ® t für die Maße: r = 3,5 cm; h = 10,79 cm (Randextremum) 724. (1) Die momentane Änderung der Licht- intensität in 50 cm Wassertiefe ist negativ. Die Lichtintensität nimmt in 50 cm Wassertiefe ab. Die momentane Änderungsgeschwindigkeit der Lichtintensität ist negativ. (2) Die Änderungsgeschwindigkeit der Lichtintensität nimmt in 50 cm Tiefe um 2 ® x/cm pro cm zu. 725. (1) W’(t) < 0: Wasserstand ist zum Zeitpunkt t fa ®® end W’(t) > 0: Wasserstand ist zum Zeitpunkt t steigend (2) t ≈ 9 h (3) t ≈ 3,67h = 3 h 40min 726. x = ‒ 4,634 727. 3 e 3 ≈ 60,257 x y 0,5 –0,5 0,5 1 0 x f(x) f 2 4 6 8 10 12 14 – 12 –8 –4 2 4 6 8 – 12 – 10 –8 –6 –4 –2 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv