Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

275 Beweise | Anhang Der erste Summand ist nu ®® und kann wegge ® assen werden. = ; k = 1 n n! ___ (n – k)! · (k – 1) ! · p k · (1 – p) n – k = Der Faktor k und das k in k! werden gekürzt, da k! = 1 · 2 · 3 ·…· (k – 1) · k gi ® t. = ; k = 1 n n! ___ (n – k)! · (k – 1)! · p · p k – 1 · (1 – p) n – k = Nach der Rechenrege ® für Potenzen gi ® t p k = p · p k–1 . = ; k = 1 n (n – 1)! · n ___ (n – k)! · (k – 1)! · p · p k – 1 · (1 – p) n – k = Es gi ® t n! = 1 · 2 · 3 · …· (n – 1) · n = (n – 1)! · n = n · p · ; k = 1 n (n – 1)! ___ (n – k)! · (k – 1)! · p k – 1 · (1 – p) n – k = Das Produkt n · p kann aus der Summe herausgehoben werden. = n · p · ; k = 1 n 2 n – 1 k – 1 3 · p k – 1 · (1 – p) n – k = Es gi ® t (n – 1)! ___ (n – k)! · (k – 1)! = 2 n – 1 k – 1 3 = n · p · ((1 – p) + p) n – 1 = Es gi ® t: (a + b) n = ; k = 0 n 2 n k 3 a n – k b k = 2 n 0 3 a n b 0 + 2 n 1 3 a n – 1 b + … + 2 n n 3 a 0 b n (binomischer Lehrsatz) Damit ® ässt sich die obige Summe a ® s Potenz eines Binoms darste ®® en und vereinfachen: ; k = 1 n 2 n – 1 k – 1 3 · p k – 1 · (1 – p) n – k = = 2 n – 1 0 3 p 0 (1 – p) n – 1 + 2 n – 1 1 3 p 1 (1 – p) n – 2 + … + 2 n – 1 n – 1 3 p n – 1 (1 – p) 0 = = ((1 – p) + p) n – 1 = n · p ·1 n–1 = n · p Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags 2 öbv