Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

274 Beweise Anhang Diskrete Zufa ®® svariab ® en Verschiebungssatz Ist X eine diskrete Zufa ®® svariab ® e, f(x i ) = P(X = x i ) mit i = 1, 2, 3, 4, …, n die zugehörige Wahrschein ® ichkeitsfunktion sowie μ der Erwartungswert von X, gi ® t für die Varianz V(X) = σ 2 : V(x) = (x 1 – μ ) 2 · f(x 1 ) + (x 2 – μ ) 2 · f(x 2 ) + (x 3 – μ ) 2 · f(x 3 ) + … + (x n – μ ) 2 · f(x n ) = = x 1 2 · f(x 1 ) + x 2 2 · f(x 2 ) + x 3 2 · f(x 3 ) + … + x n 2 · f(x n ) – μ 2 Zur Vereinfachung der Schreibweise verwendet man das Summenzeichen ; : V(x) = (x 1 – μ ) 2 · f(x 1 ) + (x 2 – μ ) 2 · f(x 2 ) + (x 3 – μ ) 2 · f(x 3 ) + … + (x n – μ ) 2 · f(x n ) = = ; i = 1 n (x i – μ ) 2 · f(x i ) = = ; i = 1 n (x i 2 – 2 x i μ + μ 2 ) · f(x i ) = binomische Forme ® = ; i = 1 n x i 2 · f(x i ) – ; i = 1 n 2 x i μ · f(x i ) + ; i = 1 n μ 2 · f(x i ) = Vertei ® ungsgesetz der Mu ® tip ® ikation = ; i = 1 n x i 2 · f(x i ) – 2 μ ; i = 1 n x i · f(x i ) + μ 2 ; i = 1 n f(x i ) = konstante Faktoren herausheben = ; i = 1 n x i 2 · f(x i ) – 2 μ · μ + μ 2 = ; i = 1 n x i · f(x i ) = μ ; i = 1 n f(x i ) = 1 = ; i = 1 n x i 2 · f(x i ) – μ 2 = = x 1 2 · f(x 1 ) + x 2 2 · f(x 2 ) + x 3 2 · f(x 3 ) + … + x n 2 · f(x n ) – μ 2 Binomia ® vertei ® ung und weitere Vertei ® ungen Erwartungswert Ist X eine binomia ® vertei ® te Zufa ®® svariab ® e mit den Parametern n und p, so gi ® t für den Erwartungswert: E(X) = μ = n · p A ®® gemein gi ® t für den Erwartungswert: μ = E(X) = ; i = 0 n x i · P(X = x i ) Bei der Binomia ® vertei ® ung gi ® t: μ = E(X) = ; k = 0 n k · 2 n k 3 · p k · (1 – p) n – k = = ; k = 0 n k · n! __ (n – k)! · k! · p k · (1 – p) n – k = Binomia ® koeffizient wird ausführ ® ich aufgeschrieben = ; k = 1 n k · n! __ (n – k)! · k! · p k · (1 – p) n – k = 9 S.212 Satz BEWEIS 10 S.233 Satz BEWEIS Nur z Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv