Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

273 Beweise | Anhang Ab ® eitungsrege ® für die natür ® iche Exponentia ® funktion f(x) = e x w f’(x) = e x f’(x) = ® im z ¥ x e z – e x _ z – x setzt man h = z – x erhä ® t man: f’(x) = ® im h ¥ 0 e x + h – e x __ h = ® im h ¥ 0 e x · (e h – 1) __ h = e x · ® im h ¥ 0 e h – 1 _ h Ersetzt man nun h durch 1 _ n und ® ässt n gegen unend ® ich gehen, so erhä ® t man fo ® genden Ausdruck: f’(x) = e x · ® im n ¥ • e 1 _ n – 1 _ 1 _ n Nun kann man für die Zah ® e ihre Definition einsetzen: e = ® im n ¥ • 2 1 + 1 _ n 3 n f’(x) = e x · ® im n ¥ • 2 2 1 + 1 _ n 3 n 3 1 _ n – 1 __ 1 _ n = e x · ® im n ¥ • 1 + 1 _ n – 1 __ 1 _ n = e x Ab ® eitungsrege ® n für Exponentia ® funktionen f(x) = a x w f’(x) = a x · ® n(a) Für den Beweis dieser Rege ® kann fo ® gender Zusammenhang verwendet werden: a x = (e ® n(a) ) x Durch Anwendung der Kettenrege ® erhä ® t man die Behauptung: f(x) = a x = (e ® n(a) ) x = e x· ® n(a) f(x)’ = e x· ® n(a) · ® n(a) = a x · ® n(a) Ab ® eitungsrege ® n für natür ® iche Logarithmusfunktionen f(x) = ® n(x) w f’(x) = 1 _ x y = ® n(x) kann umgeschrieben werden zu e y = x Mit Hi ® fe des imp ® iziten Differenzierens und der Ab ® eitungsrege ® für die natür ® iche Exponentia ® funktion erhä ® t man die Behauptung. (e y )’ = (x)’ y’ · e y = 1 | : e y y’ = 1 _ e y w y’ = f’(x) = 1 _ x Ab ® eitungsrege ® n für Logarithmusfunktionen f(x) = ® og a x w f’(x) = 1 _ x · ® n(a) Aus Lösungswege 6 ist bereits bekannt: ® og a x = ® n(x) _ ® n(a) w f(x) = ® n(x) _ ® n(a) Verwendet man nun die Ab ® eitungsrege ® für den natür ® ichen Logarithmus erhä ® t man die Behauptung: f’(x) = 1 _ ® n(a) · 1 _ x = 1 _ x · ® n(a) S.164 Satz BEWEIS S.164 Satz BEWEIS S.164 Satz BEWEIS S.164 Satz BEWEIS Nur u zu Prüfzwecken ) – Eigentum des Verlags öbv