Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

272 Beweise Anhang Ab ® eitungsrege ® für die Sinusfunktion f(x) = sin(x) w f’(x) = cos(x) f’(x) = ® im z ¥ x sin(z) – sin(x) __ z – x setzt man h = z – x erhä ® t man: f’(x) = ® im h ¥ 0 sin(x + h) – sin(x) ___ h Nun wird das Additionstheorem angewendet: sin(a + b) = sin(a) · cos(b) + cos(a) · sin(b) f’(x) = ® im h ¥ 0 sin(x) · cos(h) + cos(x) · sin(h) – sin(x) _____ h Durch Herausheben und Auftei ® ung auf zwei Brüche erhä ® t man: f’(x) = sin(x) · ® im h ¥ 0 cos(h) – 1 __ h + cos(x) · ® im h ¥ 0 sin(h) _ h Es gi ® t (ohne Beweis): ® im h ¥ 0 cos(h) – 1 __ h = 0 bzw. ® im h ¥ 0 sin(h) _ h = 1 (Mit Hi ® fe einer Wertetabe ®® e und Techno ® ogieeinsatz kann man vermuten, dass diese Behauptung stimmt.) Verwendet man nun diese beiden Erkenntnisse, so erhä ® t man die Behauptung: f’(x) = sin(x) · 0 + cos(x) ·1 = cos(x) Ab ® eitungsrege ® für die Kosinusfunktion f(x) = cos(x) w f’(x) = ‒ sin(x) Für diesen Beweis kann man den aus Lösungswege 6 bereits bekannten Zusammenhang verwenden: cos(x) = sin 2 x + π _ 2 3 w f(x) = cos(x) = sin 2 x + π _ 2 3 Durch Anwendung der Kettenrege ® und der Ab ® eitungsrege ® für die Sinusfunktion erhä ® t man: f’(x) = cos 2 x + π _ 2 3 Verwendet man nun die Beziehung cos 2 x + π _ 2 3 = ‒ sin(x) (diese Über ® egung ist anhand des Einheitskreises ersicht ® ich oder mit Hi ® fe der Additionsrege ® nachrechenbar) erhä ® t man die Behauptung: f’(x) = ‒ sin(x) S.162 Satz BEWEIS S.162 Satz BEWEIS Nur zu Prüfzwecken – Eigentu des Verlags öbv