Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

271 Beweise | Anhang Tangenteng ® eichung im Punkt T = (x T 1 y T ) an eine Hyperbe ® Durch „Aufspa ® ten“ von x 2 und y 2 in der Hyperbe ® g ® eichung h: b 2 x 2 – a 2 y 2 = a 2 b 2 ergibt sich die Spa ® tform der Hyperbe ® tangente t: t: b 2 x T x – a 2 y T y = a 2 b 2 . Die Hyperbe ® g ® eichung ® autet: hyp: b 2 x 2 – a 2 y 2 = a 2 b 2 . Imp ® iziertes Differenzieren (Kap 7.1) ® iefert: 2 b 2 x – 2 a 2 y y’ = 0 w y’ = b 2 x _ a 2 y Für die Steigung k der Tangente an die Hyperbe ® hyp im Punkt T = (x T 1 y T ) gi ® t daher: k = y’ w y – y T _ x – x T = b 2 x _ a 2 y w (y – y T ) (a 2 y) = b 2 x (x – x T ) a 2 y 2 – a 2 y y T = b 2 x 2 – b 2 x x T w b 2 x x T – a 2 y y T = b 2 x 2 – a 2 y 2 = a 2 b 2 b 2 x x T – a 2 y y T = a 2 b 2 (Spa ® tform der Tangenteng ® eichung) Tangenteng ® eichung im Punkt T = (x T 1 y T ) an eine Parabe ® Durch „Aufspa ® ten“ von 2 x in x + x und y 2 in y · y in der Parabe ® g ® eichung p: y 2 = 2 p x ergibt sich die Spa ® tform der Parabe ® tangente t: t: y T y = p · (x T + x). Die Parabe ® g ® eichung ® autet: par: y 2 = 2 p x. Imp ® iziertes Differenzieren (Kap 7.1) ® iefert: 2 y y’ = 2 p w y’ = 2 p _ 2 y Für die Steigung k der Tangente an die Parabe ® par im Punkt T = (x T 1 y T ) gi ® t daher: k = y’ w y – y T _ x – x T = 2 p _ 2 y w (y – y T ) 2 y = 2 p (x – x T ) 2 y 2 – 2 y y T = 2 p x – 2 p x T w 2 · 2 p x – 2 y y T = 2 p x – 2 p x T w – 2 y y T = ‒ 2 p x – 2 px T w y T y = (x T + x) p Erweiterung der Differentia ® rechnung Die Konstantenrege ® f(x) = g(k · x), k * R w f’(x) = k · g’(k · x) Durch Anwendung des Differentia ® quotienten und anschießendem Umformen erhä ® t man die Behauptung: f’(x) = ® im z ¥ x g(k · z) – g(k · x) ___ z – x = ® im z ¥ x g(k · z) – g(k · x) ___ z – x · k _ k = k · ® im z ¥ x g(k · z) – g(k · x) ___ k · z – k · x = k · g’(k · x) S.137 Satz BEWEIS S.138 Satz BEWEIS 7 S.159 Satz BEWEIS Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des e Verlags öbv