Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

270 Beweise Anhang a 2 e 2 – a 4 = ‒ a 2 x 2 + x 2 e 2 – a 2 y 2 a 2 (e 2 – a 2 ) = x 2 (e 2 – a 2 ) – a 2 y 2 a 2 b 2 = x 2 b 2 – a 2 y 2 b 2 x 2 – a 2 y 2 = a 2 b 2 Da Quadrieren keine Äquiva ® enzumformung ist, müsste auch gezeigt werden, dass umgekehrt aus der Hyperbe ® g ® eichung die Brennpunktsdefinition fo ® gt. Auf diesen Tei ® des Beweises wird hier verzichtet. G ® eichung der Parabe ® par in 1. Haupt ® age Ein Punkt P = (x 1 y) ® iegt auf der Parabe ® par, wenn seine Koordinaten die fo ® gende G ® eichung erfü ®® en: par: y 2 = 2 px mit p > 0. S = (0 1 0): Scheite ® der Parabe ® F = 2 p _ 2 1 0 3 : Brennpunkt der Parabe ® Für jeden Punkt auf einer Parabe ® in 1. HL gi ® t: _ FX = _ X ® , wobei ® die Leitgerade mit ® : x = ‒ p _ 2 ist. _ À FX = 2 x – p _ 2 y 3 und _ X ® = p _ 2 + x daraus fo ® gt: 9 ______ 2 x – p _ 2 3 2 + y 2 = x + p _ 2 Da der Wert unter der Wurze ® positiv ist, kann man die G ® eichung quadrieren. 2 x – p _ 2 3 2 + y 2 = 2 x + p _ 2 3 2 x 2 – p x + p 2 _ 4 + y 2 = x 2 + p x + p 2 _ 4 y 2 = 2 p x Tangenteng ® eichung im Punkt T = (x T 1 y T ) an eine E ®® ipse Durch „Aufspa ® ten“ von x 2 und y 2 in der E ®® ipseng ® eichung e: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 ergibt sich die Spa ® tform der E ®® ipsentangente: t: b 2 x T x + a 2 y T y = a 2 b 2 Die E ®® ipseng ® eichung ® autet: e ®® : b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 . Imp ® iziertes Differenzieren (Kap 7.1) ® iefert: 2 b 2 x + 2 a 2 y y’ = 0 w y’ = ‒ b 2 x _ a 2 y Für die Steigung k der Tangente an die E ®® ipse e ®® im Punkt T = (x T 1 y T ) gi ® t daher: k = y’ w y – y T _ x – x T = ‒ b 2 x _ a 2 y w (y – y T ) (a 2 y) = ‒ b 2 x (x – x T ) a 2 y 2 – a 2 y y T = ‒ b 2 x 2 + b 2 x x T w b 2 x x T + a 2 y y T = a 2 y 2 + b 2 x 2 = a 2 b 2 b 2 x x T + a 2 yy T = a 2 b 2 …die Spa ® tform der Tangenteng ® eichung S.130 Satz BEWEIS S.136 Satz BEWEIS Nur b zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv