Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

269 Beweise | Anhang Kege ® schnitte G ® eichung der E ®® ipse in 1. Haupt ® age Ein Punkt P = (x 1 y) ® iegt auf der E ®® ipse e ®® , wenn seine Koordinaten die fo ® gende G ® eichung erfü ®® en: e ®® : b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 oder x 2 _ a 2 + y 2 _ b 2 = 1 a: Länge der großen Ha ® bachse b: Länge der k ® einen Ha ® bachse _ F 1 P + _ F 2 P = 2 a (Brennpunkte F 1 = (e 1 0) und F 2 = (‒ e 1 0)) 9 _________ (x – e) 2 + (y – 0) 2 + 9 _________ (x + e) 2 + (y – 0) 2 = 2 a 9 ______ (x – e) 2 + y 2 = 2 a – 9 _______ (x + e) 2 + y 2 x 2 – 2 x e + e 2 + y 2 = 4 a 2 – 2 · 2 a · 9 __________ x 2 + 2 x e + e 2 + y 2 + x 2 + 2 x e + e 2 + y 2 4 a 9 __________ x 2 + 2 x e + e 2 + y 2 = 4 a 2 + 4 x e a 9 __________ x 2 + 2 x e + e 2 + y 2 = a 2 + x e a 2 · (x 2 + 2 x e + e 2 + y 2 ) = a 4 + 2 a 2 x e + x 2 e 2 a 2 x 2 + 2 a 2 x e + a 2 e 2 + a 2 y 2 = a 4 + 2 a 2 x e + x 2 e 2 a 2 x 2 – x 2 e 2 + a 2 y 2 = a 4 – a 2 e 2 x 2 (a 2 – e 2 ) + a 2 y 2 = a 2 (a 2 – e 2 ) (es gi ® t: b 2 = a 2 – e 2 ) b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 Da Quadrieren keine Äquiva ® enzumformung ist, müsste auch gezeigt werden, dass umgekehrt aus der E ®® ipseng ® eichung die Brennpunktsdefinition fo ® gt. Auf diesen Tei ® des Beweises wird hier verzichtet. G ® eichung der Hyperbe ® Ein Punkt P = (x 1 y) ® iegt auf der Hyperbe ® hyp mit den Brennpunkten F 1 = (e 1 0) und F 2 = (‒ e 1 0), wenn seine Koordinaten die fo ® gende G ® eichung erfü ®® en: hyp: b 2 x 2 – a 2 y 2 = a 2 b 2 oder x 2 _ a 2 – y 2 _ b 2 = 1. a: Länge der großen Ha ® bachse b: Länge der k ® einen Ha ® bachse Der Beweis wird für den rechten Hyperbe ® ast gezeigt. A ® so gi ® t _ F 1 P > _ F 2 P _ F 1 P – _ F 2 P = 2 a 9 _________ (x + e) 2 + (y – 0) 2 – 9 _________ (x – e) 2 + (y – 0) 2 = 2 a 9 _______ (x + e) 2 + y 2 = 2 a + 9 ______ (x – e) 2 + y 2 x 2 + 2 x e + e 2 + y 2 = 4 a 2 + 2 · 2 a · 9 _________ x 2 – 2 x e + e 2 + y 2 + x 2 – 2 x e + e 2 + y 2 ‒ 4 a 9 _________ x 2 – 2 x e + e 2 + y 2 = 4 a 2 – 4 x e ‒ a 9 _________ x 2 – 2 x e + e 2 + y 2 = a 2 – x e a 2 · (x 2 – 2 x e + e 2 + y 2 ) = a 4 – 2 a 2 x e + x 2 e 2 a 2 x 2 – 2 a 2 x e + a 2 e 2 + a 2 y 2 = a 4 – 2 a 2 x e + x 2 e 2 5 S.121 Satz BEWEIS S.126 Satz BEWEIS Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv