Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

268 Beweise Anhang Beweise Grund ® agen der Differentia ® rechnung Rege ® der mu ® tip ® ikativen Konstanten (k · f(x))’ = k · f’(x) Durch Anwendung des Differentia ® quotienten und anschießendem Umformen erhä ® t man die Behauptung: (k · f(x))’ = ® im z ¥ x k · f(z) – k · f(x) __ z – x = ® im z ¥ x k · (f(z) – f(x)) __ z – x = k · ® im z ¥ x f(z) – f(x) __ z – x = k · f’(x) Summen- bzw. Differenzenrege ® (h(x) + g(x))’ = h’(x) + g’(x) Durch Anwendung des Differentia ® quotienten und anschießendem Umformen erhä ® t man die Behauptung: (h(x) + g(x))’ = ® im z ¥ x (h(z) + g(z)) – (h(x) + g(x)) ____ z – x = ® im z ¥ x (h(z) – h(x)) + (g(z) – g(x)) ____ z – x = = ® im z ¥ x h(z) – h(x) __ z – x + ® im z ¥ x g(z) – g(x) __ z – x = h’(x) + g’(x) Kreis und Kuge ® Spa ® tform der Tangenteng ® eichung Ein Kreis mit dem Mitte ® punkt M = (x M 1 y M ) und Radius r besitzt im Punkt T = (x T 1 y T ) die Tangente t mit der G ® eichung: t: (x T – x M ) · (x – x M ) + (y T – y M ) · (y – y M ) = r 2 Für a ®® e Punkte X = (x 1 y) auf der Tangente t gi ® t: _ À MT · _ À TX = 0 Durch Umformung dieser G ® eichung erhä ® t man: (T – M) · (X – T) = 0 | + r 2 (T – M) · (X – T) + r 2 = 0 + r 2 Für r 2 gi ® t: r 2 = | _ À MT | 2 = (T – M) · (T – M) Daraus fo ® gt: (T – M) · (X – T) + (T – M) · (T – M) = r 2 (T – M) · (X – T + T – M) = r 2 (T – M) · (X – M) = r 2 (x T – x M ) · (x – x M ) + (y T – y M ) · (y – y M ) = r 2 Die Spa ® tform der Tangenteng ® eichung an einen Kreis 2 S.40 Satz BEWEIS S.40 Satz BEWEIS 4 S.106 Satz BEWEIS Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv