Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

267 Reflexion Dunke ® war's, der Mond schien he ®® e… Paradox ist etwas, das zumindest dem ersten Anschein nach unserer a ®® gemeinen Erwartung widerspricht. Paradoxa haben Menschen schon immer fasziniert. Sie treten in der Phi ® osophie, in der Literatur oder in der bi ® denden Kunst auf. In den Lösungswegen bist du schon ein paar Ma ® Paradoxa begegnet. Manchma ® sind sie mit ein wenig mathema- tischem Wissen schne ®® aufzu ® ösen wie z.B. das Simpson Paradoxon, manchma ® dauert die Beschäftigung damit schon Jahrtausende und sie führen zu tiefgründigen Betrachtungen (Zenon Paradoxon S. 24) und manchma ® sind sie einfach nur scherzhaft wie nebenstehendes Paradoxon. Auf jeden Fa ®® sind Paradoxa für vie ® e Leute irgendwie anregend und unterha ® tsam. Die hier vorgeste ®® ten Paradoxa haben beide mit der Unend ® ichkeit zu tun und so ®® en zum Nachdenken, Schmunze ® n, Diskutieren und Weiterforschen anregen. Näheres dazu in der On ® ineergänzung. Hi ® berts Hote ® David ist Nachtportier in Hi ® berts Hote ® . Ein ganz besonderes Hote ® ! Es hat näm ® ich unend ® ich vie ® e Zimmer, die fort ® aufend nummeriert sind und auch a ®® e be ® egt sind. Ein weiterer Gast kommt ins Hote ® und fragt nach einem Zimmer. David findet eine Lösung für den Gast. Er bittet jeden Gast in das Zimmer mit der nachfo ® genden Zimmernummer zu ziehen. Der Gast in Zimmernummer 1 wechse ® t a ® so in das Zimmer mit der Nummer 2, der Gast mit der Zimmernummer 2 auf Zimmernummer 3 u.s.w. Dadurch wird das erste Zimmer für den Neuankömm ® ing frei! 963. Du bist Nachtportier in Hi ® berts Hote ® und musst 10 neue Gäste unterbringen. Wie gehst du vor? Kurz nach Mitternacht erreicht ein ganzer Bus mit unend ® ich vie ® en Gästen Hi ® bert´s Hote ® . Aber auch diesma ® findet David eine Lösung. Er bittet a ®® e Gäste in das Zimmer mit der doppe ® t so großen Zimmernummer zu wechse ® n. Dadurch werden a ®® e Zimmer mit ungerader Zimmernummer frei und a ®® e Neuankömm ® inge bekommen ein Zimmer! 964. Du bist Nachtportier in Hi ® berts Hote ® und musst nacheinander zwei Busse mit unend ® ich vie ® en neuen Gäste unterbringen. Du wi ®® st jeden Gast a ®® erdings nur einma ® in der Nacht stören. Wie gehst du vor? 965. Du bist Nachtportier in Hi ® berts Hote ® und musst nacheinander unend ® ich vie ® e Busse mit unend ® ich vie ® en neuen Gäste unterbringen. Du wi ®® st jeden Gast a ®® erdings nur einma ® in der Nacht stören. Wie gehst du vor? Die Grandi Reihe S = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1… und immer so weiter, diese unend ® iche Summe ist die Grandi Reihe. Der Mönch Guido Grandi fand im Jahre 1703 drei Ergebnisse für diese unend ® iche Summe. Ergebnis 1: S = 0 Ergebnis 2: S = 1 Ergebnis 3: S = 1 _ 2 Beweis: S = (1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1)… = 0 + 0 + 0… = 0 Beweis: S = 1 + (‒1 + 1) + (‒1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + … = 1 Beweis: S = 1 – (1 – 1 + 1 – 1 + 1 …) S = 1 – S w 2 S = 1 w S = 1 _ 2 966. Finde nach der Art Grandis verschiedene Summen für fo ® gende Reihe. a) S = 1 – 2 + 4 – 8 + 16 – … b) S = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – … Vertiefung Paradoxa 3tt5ta Eine Katze hat neun Schwänze Beweis Keine Katze hat acht Schwänze. Eine Katze hat einen Schwanz mehr a ® s keine Katze. Daraus fo ® gt sofort: Eine Katze hat 8 + 1 = 9 Schwänze. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv