Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

264 Komplexe Zahlen 11 Training Vernetzung – Typ-2-Aufgaben 950. a) Die Koeffizienten p und q der normierten quadratischen G ® eichung x 2 + p x + q = 0 können auch imaginäre bzw. komp ® exe Zah ® en sein. Gegeben ist die quadratische G ® eichung x 2 + i · x – 2,5 = 0. – Bestimme unter Verwendung einer Lösungsforme ® für quadratische G ® eichungen die Lösungen der G ® eichung und ste ®® e sie in der Form a + b i dar. – Bestimme die quadratische G ® eichung x 2 + p x + q = 0, die die Lösungen 2 – 5 i und 2 + 5 i besitzt. b) Gegeben ist die komp ® exe Zah ® z = a + b · i mit a > 0 und b < 0. Kreuze die beiden zutref- fenden Aussagen an. A Für den Betrag von z gi ® t r = † z † = 9 ____ a 2 + b 2 .  B Das Maß des Arguments ist zwischen 90° und 180°.  C Der Punkt P = (a 1 b) ® iegt im ersten Quadranten.  D Der Punkt P = (a 1 b) ® iegt im zweiten Quadranten.  E Das Argument der komp ® exen Zah ® ist zwischen 3 π _ 2 rad und 2 π rad.  c) Im 16. Jahrhundert fand der venezianische Mathematiker Nicco ® o Tartag ® ia eine Lösungs- forme ® für G ® eichungen dritten Grades. Die G ® eichung x 3 + r · x 2 + s · x + t = 0 mit r, s, t * R kann durch Einsetzen von x = y – r _ 3 auf die reduzierte Form y 3 – 3 p · y – 2 q = 0 mit p, q * R gebracht werden. Eine Lösung der reduzierten Form ® autet: y 1 = 3 9 ______ q + 9 _ q 2 – p 3 + 3 9 ______ q – 9 ____ q 2 – p 3 . – Gegeben ist die a ® gebraische G ® eichung dritten Grades x 3 – 3 x 2 – 10 x + 24 = 0. Bestimme unter Verwendung obiger Informationen die reduzierte Form der G ® eichung, eine Lösung y 1 und damit eine Lösung x 1 der Ausgangsg ® eichung. – Er ® äutere die Vorgangsweise zur Bestimmung der weiteren Lösungen der Ausgangsg ® eichung. Typ 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv