Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke 263 Komplexe Zahlen | Rechnen mit komplexen Zahlen in Polardarstellung z 1 = 3 9 _ z = z 1 _ 3 = 27 1 _ 3 · 2 cos 2 1 _ 3 ·135° 3 + i · sin 2 1 _ 3 ·135° 3 3 = 3 · (cos(45°) + i · sin(45°)) z 2 = 3 9 _ z = z 1 _ 3 = [27· (cos(135° + 360° ·1) + i · sin(135° + 360° ·1))] 1 _ 3 = 3 · (cos(165°) + i · sin(165°) z 3 = 3 9 _ z = z 1 _ 3 = [27· (cos(135° + 360° · 2) + i · sin(135° + 360° · 2))] 1 _ 3 = 3 · (cos(285°) + i · sin(285°) Setzt man dieses Verfahren noch einma ® fort, erhä ® t man a ® s Argument 405°. Da sin(405°) = sin(45°) bzw. cos(405°) = cos(45°) ist, gibt es keine weiteren dritten Wurze ® n. n-te Wurze ® aus einer komp ® exen Zah ® Man erhä ® t a ®® e n-ten Wurze ® n (n * N \{0}) aus der komp ® exen Zah ® z = (r; φ ) durch: z k + 1 = 2 n 9 _ r; φ _ n + k · 360° _ n 3 = n 9 _ r · 2 cos 2 φ _ n + k · 360° _ n 3 + i · sin 2 φ _ n + k · 360° _ n 3 3 0 ª k ª (n – 1) 948. Berechne in der Menge C a ®® e Wurze ® n von z und gib das Ergebnis in Po ® arkoordinaten und kartesischer Darste ®® ung an a) 4 9 __ 16 b) 3 9 __ 81 c) 3 9 ___ ‒1 – i d) 5 9 _ i e) 9 _____ 21 – 28 i f) 5 9 _____ (1; 150°) g) 9 _ 1 949. Löse die G ® eichung. Gib die Lösungen in kartesischer Darste ®® ung an. a) z 3 = 64 i b) z 4 = ‒16 c) z 5 = 243 d) z 3 = 3 + 5 i e) z 4 = ‒1 – i f) z 5 = ‒1 Imaginäre Einheit Die imaginäre Einheit i ist jene Zah ® , für die gi ® t: i 2 = ‒1 Komp ® exe Zah ® en Mathematische Ausdrücke der Form a + b· i mit a, b * R heißen komp ® exe Zah ® en. a … Rea ® tei ® b … Imaginärtei ® C … Menge der komp ® exen Zah ® en Konjugiert komp ® exe Zah ® Ist z = a + b · i eine komp ® exe Zah ® , ist _ z = a – b · i die zu z konjugiert komp ® exe Zah ® . (Sprich: „z quer“) Po ® ardarste ®® ung/Po ® arkoordinaten Für z = a + b· i (z ≠ 0) gi ® t: r = † z † = 9 ____ a 2 + b 2 tan( φ ) = b _ a (a ≠ 0) z = r · (cos( φ ) + i · sin( φ )) = (r; φ ) Rechnen in Po ® ardarste ®® ung Sind z 1 = r 1 · (cos( φ 1 ) + i · sin( φ 1 )) und z 2 = = r 2 · (cos( φ 2 ) + i · sin( φ 2 )) zwei komp ® exe Zah ® en, gi ® t: z 1 · z 2 = r 1 · r 2 · (cos( φ 1 + φ 2 ) + i · sin( φ 1 + φ 2 )) z 1 _ z 2 = r 1 _ r 2 · (cos( φ 1 – φ 2 ) + i · sin( φ 1 – φ 2 )) z n = (r; φ ) n = (r n ; n · φ ) = r n · (cos(n · φ ) + i · sin(n · φ )), n * N \{0] (Forme ® von Moivre) n-te Wurze ® aus einer komp ® exen Zah ® Man erhä ® t a ®® e n-ten Wurze ® n (n * N \ { 0 } ) aus der komp ® exen Zah ® z = (r; φ ) durch: z k + 1 = 2 n 9 _ r; φ _ n + k · 360° _ n 3 = n 9 _ r · 2 cos 2 φ _ n + k · 360° _ n 3 + i · sin 2 φ _ n + k · 360° _ n 3 3 0 ª k ª (n – 1) Fundamenta ® satz der A ® gebra Jede a ® gebraische G ® eichung vom Grad n (n º 1) hat in der Menge C der komp ® exen Zah ® en mindestens eine Lösung, d. h. ist in der Menge C immer ® ösbar. zusammenfassung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv