Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

techno- logie Merke 262 Komplexe Zahlen 11 944. Gib die Potenz der komp ® exen Zah ® in kartesischer Darste ®® ung an. a) (3; 12°) 5 b) (2; 100°) 4 c) (1; 2 π _ 3 rad) 9 d) (1; π _ 2 rad) 12 e) (4; π _ 2 rad) 2 945. Gegeben ist die komp ® exe Zah ® z = (1; 72°). Berechne z 1 , z 2 , z 3 , z 4 und z 5 und ste ®® e die Potenzen in der Gaußschen Zah ® eneben dar. Was fä ®® t dir auf? z 1 = z = (1; 72°) z 2 = (1; 72°) 2 = (1; 144°) z 3 = (1; 72°) 3 = (1; 216°) z 4 = (1; 72°) 4 = (1; 288°) z 5 = (1; 72°) 5 = (1; 360°) Die Potenzen ® iegen für die komp ® exen Zah ® en mit r = † z † = 1 auf einem Kreis mit dem Radius 1 und tei ® en ihn in ein rege ® mäßiges Fünfeck. 946. Berechne die ersten vier Potenzen der komp ® exen Zah ® z und ste ®® e sie in der Gaußschen Zah ® enebene dar. a) (1; 90°) b) (1; 45°) c) (1; 20°) d) (1; 30°) 947. Berechne die ersten sechs Potenzen der komp ® exen Zah ® z und ste ®® e sie in der Gaußschen Zah ® enebene dar. a) 2 1; π _ 3 rad 3 b) 2 1; π _ 2 rad 3 c) 2 1; π _ 4 rad 3 d) 2 1; π _ 6 rad 3 Potenzieren einer komp ® exen Zah ® der Form a + b i Geogebra: Beispie ® : (‒ 4 + 5 í)^4 = ‒1 519 + 720 í TI-nspire: Beispie ® : (2 + 3 i ) 4  = ‒119 – 120  i Wurze ® ziehen Zuerst wird der Begriff einer komp ® exen Wurze ® definiert. Wurze ® aus einer komp ® exen Zah ® Eine komp ® exe Zah ® x wird a ® s n-te Wurze ® (n * N \{0}) der komp ® exen Zah ® z bezeichnet, wenn x n = z gi ® t. Man schreibt: x = n 9 _ z Gegeben ist die komp ® exe Zah ® z = 27· (cos(135°) + i · sin(135°)) und man möchte den Wert 3 9 _ z bestimmen. Dabei muss man berücksichtigen, dass das Argument φ  = 135° von z in der Po ® ardarste ®® ung nicht eindeutig ist. Es ® egt näm ® ich jeder Winke ® φ  + 360° · k mit k * Z 0 + diese ® be komp ® exe Zah ® z fest. z = 27· (cos(135°) + i · sin(135°)) ist nur die einfachste der komp ® exen Zah ® en z = 27· (cos(135° + 360° · k) + i · sin(135° + 360° · k)). Demnach gibt es auch für die dritte Wurze ® mehrere Mög ® ichkeiten. Man schreibt nun die dritte Wurze ® von z in Potenzschreibweise und wendet die Rechenrege ® für das Potenzieren an: muster Re Im 1 0 z z 2 z 3 z 4 z 5 i Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv