Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke 261 Komplexe Zahlen | Rechnen mit komplexen Zahlen in Polardarstellung 939. Dividiere z 1 durch z 2 und gib den Quotienten in kartesischer Darste ®® ung an. a) z 1 = (4; 120°); z 2 = (5; 50°) c) z 1 = 8· (cos(80°) + i · sin(80°)); z 2 = 16· (cos(20°) + i · sin(20°)) b) z 1 = (3; π rad); z 2 = 2 4; π _ 2 rad 3 d) z 1 = 10 · 2 cos 2 2 π _ 3 3 + i · sin 2 2 π _ 3 3 3 ; z 2 = 8 · 2 cos 2 π _ 2 3 + i · sin 2 π _ 2 3 3 940. Dividiere z 1 und z 2 in Po ® ardarste ®® ung und gib den Quotienten wieder in kartesischer Darste ®® ung an. a) z 1 = ‒ 2 + 2 i; z 2 = 1 + i c) z 1 = ‒ 3 – 3 i; z 2 = ‒1 + i e) z 1 = 1 + 2 i; z 2 = 4 + 3 i b) z 1 = ‒ i; z 2 = 5 i d) z 1 = 1 – i; z 2 = 2 – 2 i f) z 1 = ‒ 4 – i; z 2 = ‒ 2 – i Potenzieren Da das Potenzieren eine wiederho ® te Mu ® tip ® ikation g ® eicher Faktoren ist, kann auf die entsprechende Rechenrege ® für das Mu ® tip ® izieren zurückgegriffen werden: z 2 = z · z = (r; φ ) · (r; φ ) = (r 2 ; φ  + φ ) = (r 2 ; 2 · φ ) z 3 = z · z · z = z 2 · z = (r 2 ; 2 · φ ) · (r; φ ) = (r 3 ; 2 · φ  + φ ) = (r 3 ; 3 · φ ) usw. Man erkennt, dass beim Potenzieren einer komp ® exen Zah ® in Po ® ardarste ®® ung der Betrag potenziert wird, während das Argument mit dem Exponenten mu ® tip ® iziert wird. Diese Tatsache wurde vom Mathematiker Abraham de Moivre in einem mathematischen Satz formu ® iert. Forme ® von de Moivre (Potenzieren einer komp ® exen Zah ® in Po ® ardarste ®® ung) Für eine komp ® exe Zah ® z = (r; φ ) und n * N \{0} gi ® t: z n = (r n ; n · φ ) = r n · (cos(n · φ ) + i · sin(n · φ )) Der Betrag wird potenziert und das Argument mit dem Exponenten mu ® tip ® iziert. 941. Berechne die Potenz der komp ® exen Zah ® mit der Forme ® von de Moivre und vereinfache das Argument soweit wie mög ® ich. a) z = (3; 13°); z 3 c) z = (5; 60°); z 5 e) z = (2; 90°); z 7 g) z = (7; 180°); z 2 b) z = (2; 45°); 4 d) z = (4; 85°); z 6 f) z = (1; 110°); z 8 h) z = (10; 0°); z 3 942. Gegeben ist die komp ® exe Zah ® z = ‒ 9 _ 2 _ 2 + 9 _ 2 _ 2 i. Ste ®® e die Potenz z 5 in kartesischer Form dar. Man berechnet den Betrag r und das Argument φ : r = † z † = 9 _______ 2 ‒ 9 _ 2 _ 2 3 2 + 2 9 _ 2 _ 2 3 2 = 9 ___ 2 _ 4 + 2 _ 4 = 9 _ 1 = 1; φ ’ = tan ‒1 2 | 9 _ 2 _ 2 _ ‒ 9 _ 2 _ 2 | 3 = tan ‒1 (1) = 45° Da P = 2 ‒ 9 _ 2 _ 2 1 9 _ 2 _ 2 3 im zweiten Quadranten ® iegt, gi ® t wegen der Symmetrie für φ = 180° – φ ’ = 135° z = ‒ 9 _ 2 _ 2 + 9 _ 2 _ 2 i = (1; 135°) z 5 = (1 5 ; 5 ·135°) = (1; 675°) = (1; 315°) = 1 · (cos(315°) + i · sin(315°)) = 9 _ 2 _ 2 – 9 _ 2 _ 2 i 943. Gib die Potenz der komp ® exen Zah ® in kartesischer Darste ®® ung an. a) (1 + 2 i) 4 c) (‒ 6 – 8 i) 3 e) (1 + i) 7 g) (‒1 – i) 3 i) (‒ 3 + i) 4 b) (‒ 3 + 4 i) 5 d) (0,7 – 2,4 i) 6 f) (‒1 + i) 10 h) (2 + 2 i) 2 j) (1 – 4 i) 5 Abraham de Moivre (1667 – 1756) Französischer Mathematiker muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv