Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke Merke 260 kompe- tenzen 11.6 Rechnen mit komp ® exen Zah ® en in Po ® ardarste ®® ung Lernzie ® e: º Komp ® exe Zah ® en in Po ® ardarste ®® ung mu ® tip ® izieren und dividieren können º Komp ® exe Zah ® en in Po ® ardarste ®® ung potenzieren können º Die Forme ® von de Moivre kennen º Aus komp ® exen Zah ® en in Po ® ardarste ®® ung Wurze ® n ziehen können Das Rechnen mit komp ® exen Zah ® en in Po ® ardarste ®® ung bietet beim Mu ® tip ® izieren und Divi- dieren jedoch vor a ®® em beim Potenzieren sowie beim Wurze ® ziehen einen großen Vortei ® . Der Rechenaufwand verringert sich näm ® ich im Verg ® eich zur kartesischen Darste ®® ung erheb ® ich. Mu ® tip ® ikation und Division Die Mu ® tip ® ikation und die Division komp ® exer Zah ® en ® ässt sich mit Po ® arkoordinaten oft einfacher durchführen. Sind z 1 = r 1 · (cos( φ 1 ) + i · sin( φ 1 )) und z 2 = = r 2 · (cos( φ 2 ) + i · sin( φ 2 )) zwei komp ® exe Zah ® en in Po ® ardarste ®® ung, so gi ® t für die Mu ® tip ® ikation: z 1 · z 2 = r 1 · r 2 · (cos( φ 1 + φ 2 ) + i · sin( φ 1 + φ 2 )). Mu ® tip ® ikation komp ® exer Zah ® en in Po ® ardarste ®® ung Bei der Mu ® tip ® ikation werden die Beträge mu ® tip ® iziert und die Argumente addiert. 936. Mu ® tip ® iziere z 1 = (4; 220°) und z 2 = (8; 270°) und gib das Produkt in kartesischer Darste ®® ung an. z 1 · z 2 = (4; 220°) · (8; 270°) = (4 · 8; 220° + 270°) = (32; 490°) = (32; 490° – 360°) = = (32; 130°), da cos(490°) = cos(130°) bzw sin(490°) = sin(130°) Nach der Berechnung des Produkt in Po ® arkoordinaten kann die Po ® ardarste ®® ung bzw. karte- sische Darste ®® ung angegeben werden: z 1 · z 2 = 32 · cos(130°) + i · 32 · sin(130°) 937. Mu ® tip ® iziere z 1 und z 2 und gib das Produkt in kartesischer Darste ®® ung an. a) z 1 = (3; 30°); z 2 = (5; 20°) c) z 1 = 8· (cos(45°) + i · sin(45°)); z 2 = 7· (cos(80°) + i · sin(80°)) b) z 1 = (2; π rad); z 2 = 2 8; π _ 2 rad 3 d) z 1 = 10 · 2 cos 2 2 π _ 3 3 + i · sin 2 2 π _ 3 3 3 ; z 2 = 4 · (cos( π ) + i · sin( π )) 938. Mu ® tip ® iziere z 1 und z 2 in Po ® ardarste ®® ung und gib das Produkt in kartesischer Darste ®® ung an. a) z 1 = 2 + 2 i; z 2 = ‒1 + i c) z 1 = 3 – 3 i; z 2 = ‒1 – i e) z 1 = ‒ 2 i; z 2 = ‒1 + 2 i b) z 1 = 3 i; z 2 = ‒ 2 i d) z 1 = 1 – i; z 2 = 5 – 5 i f) z 1 = ‒1 – 2 i; z 2 = ‒ 2 Sind z 1 = r 1 · (cos( φ 1 ) + i · sin( φ 1 )) und z 2 = r 2 · (cos( φ 2 ) + i · sin( φ 2 )) zwei komp ® exe Zah ® en in Po ® ardarste ®® ung, gi ® t für die Division: z 1 _ z 2 = r 1 _ r 2 · (cos( φ 1 – φ 2 ) + i · sin( φ 1 – φ 2 )). Division komp ® exer Zah ® en in Po ® ardarste ®® ung Bei der Division werden die Beträge dividiert und die Argumente subtrahiert. Vertiefung Her ® eitung der Forme ® n für die Mu ® tip ® ikation und Division in Po ® ardarste ®® ung 2yt47e muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv