Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke 26 Grundlagen der Differentialrechnung 2 Der Differenzenquotient – die mitt ® ere Änderungsrate Neben der abso ® uten, der re ® ativen und der prozentue ®® en Änderung wurde in Lösungswege 6 auch die mitt ® ere Änderungsrate, auch Differenzenquotient genannt, erarbeitet. Dabei wird untersucht, wie sich ein Vorgang (bzw. eine Funktion) im Mitte ® verändert. In der fo ® genden Tabe ®® e sieht man die Zuschauerzah ® en a ®® er Heimspie ® e des Wiener Fußba ®® k ® ubs SK Rapid Wien von der Saison 2009/2010 bis 2014/2015. Saison 2009/2010 2010/2011 2011/2012 2012/2013 2013/2014 2014/2015 Zuschauerzah ® 284 349 284 858 283 800 255 970 248 259 301 865 Verg ® eicht man die Zuschauerzah ® en der Saison 2009/2010 und der Saison 2014/2015, so hat man den Eindruck, dass die Anzah ® der Zuschauer gestiegen ist. Es ist zu beachten, dass die Zuschauerzah ® en dazwischen zurückgegangen sind. Z(t) steht für die Anzah ® der Zuschauer in der Saison t. Um die mitt ® ere Änderungsrate von der Saison 2009/2010 bis zur Saison 2014/2015 zu berechnen, dividiert man die Differenz der Zuschauerzah ® en durch die vergangenen Jahre. Z(2014/2015) – Z(2009/2010) ____ 5 = 301 865 – 284 349 ___ 5 ≈ 3 503 Dieser Wert bedeutet, dass die Zuschauerzah ® im Mitte ® um 3 503 Personen pro Saison zugenommen hat. Diese durchschnitt ® iche Veränderung muss nicht mit der tatsäch ® ichen Veränderung pro Saison übereinstimmen, was bei obiger Tabe ®® e deut ® ich zu sehen ist. Die Berechnung der mitt ® eren Änderungsrate kann auch auf be ® iebige Funktionen vera ®® gemeinert werden: Der Differenzenquotient – die mitt ® ere Änderungsrate Sei f eine ree ®® e Funktion, die auf dem Interva ®® [a; b] definiert ist. Dann heißt f(b) – f(a) __ b – a der Differenzenquotient oder die mitt ® ere Änderungsrate von f in [a; b]. 64. Berechne den Differenzenquotienten der Funktion f in [‒ 4; ‒1]. a) f(x) = ‒ 3 x + 2 c) f(x) = ‒ 3 x 2 + 1 e) f(x) = x – 3 _ x – 4 g) f(x) = ‒ 2 e 3x b) f(x) = 5 x – 5 d) f(x) = 12 x 2 – 4 f) f(x) = x 2 – 3 _ x – 9 h) f(x) = ‒ 2 e ‒3x 65. An einem Sommertag werden auf der Inse ® Rab in Kroatien fo ® gende Temperaturen T gemessen. Uhrzeit 5 Uhr 9 Uhr 12 Uhr 16 Uhr 20 Uhr 23 Uhr Temperatur 22° 27° 28° 26° 24° 22° a) Berechne die abso ® ute Änderung von T in den Interva ®® en [5; 9], [5; 16], [16; 23] und interpretiere die Werte im gegebenen Kontext. b) Berechne den Differenzenquotienten von T in den Interva ®® en [5; 9], [5; 16], [16; 23] und interpretiere die Werte im gegebenen Kontext. c) Gib ein Interva ®® an, in dem die abso ® ute Änderung und die mitt ® ere Änderungsrate von T den Wert 0 annehmen. Erk ® äre a ®® gemein, wann die abso ® ute Änderung und die mitt ® ere Änderungsrate den Wert 0 annehmen. Techno ® ogie Übung Differenzen- quotient n6a265 Nur zu Prüfzwecken g – Eigentum des Verlags öbv