Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke 258 kompe- tenzen 11.5 Po ® ardarste ®® ung von komp ® exen Zah ® en Lernzie ® e: º Die Po ® ardarste ®® ung komp ® exer Zah ® en angeben können º Das Argument einer komp ® exen Zah ® bestimmen können º Die Po ® arkoordinaten in die kartesische Darste ®® ung umrechnen können Jeder komp ® exen Zah ® z = a + b · i entspricht in der Gaußschen Zah ® enebene ein eindeutig festge ® egter Punkt P = (a 1 b). Wie schon bekannt, kann dieser durch seine Po ® arkoordinaten P = (r; φ ) dargeste ®® t werden. Dabei ist r = † z † der Abstand von P vom Nu ®® punkt und wird a ® s Betrag der komp ® exen Zah ® bezeichnet. Nach dem Satz von Pythagoras gi ® t: r = † z † = 9 ____ a 2 + b 2 Der Winke ® φ * [0 rad; 2 π rad) bzw. [0°; 360°), den r mit der positiven ree ®® en Achse einsch ® ießt, heißt Argument der komp ® exen Zah ® . Zur Berechnung von φ  verwendet man tan( φ ) = b _ a . Aufgrund der Definition von Sinus und Cosinus im rechtwink ® igen Dreieck ge ® ten auch die Zusammenhänge: cos( φ ) = a _ r w a = r · cos( φ ) sin( φ ) = b _ r w b = r · sin( φ ) Po ® ardarste ®® ung/Po ® arkoordinaten einer komp ® exen Zah ® Ist z = a + b · i (z ≠ 0) eine komp ® exe Zah ® , gi ® t: r = † z † = 9 ____ a 2 + b 2 tan( φ ) = b _ a (a ≠ 0) a = r · cos( φ ) b = r · sin( φ ) z = a + b · i = r · cos( φ ) + r · sin( φ ) · i = r · (cos( φ ) + i · sin( φ )) = (r; φ ) kartesische Darste ®® ung Po ® ardarste ®® ung Po ® arkoordinaten 931. Ste ®® e die komp ® exe Zah ® z = 12 – 35 i in Po ® ardarste ®® ung bzw. in Po ® arkoordinaten dar. r = † z † = 9 ____ a 2 + b 2 = 9 _______ 12 2 + (‒ 35) 2 = 9 ___ 1 369 = 37 tan( φ ) = b _ a = ‒ 35 _ 12 Berechne zuerst das Maß des spitzen Winke ® φ ’ = tan ‒1 2 35 _ 12 3 ≈ 71,08°. Das gesuchte Argument φ  ist zwischen 270° und 360°, da der Punkt P = (12 1 ‒ 35) im vierten Quadranten ® iegt. Aufgrund der Symmetrieeigenschaften ergibt sich für φ  = 360° – φ ’ ≈ 288,92°. z = 12 – 35 i ≈ 37· (cos(288,92°) + i · sin(288,92°)) = = (37; 288,92°) Im 0 Re a i 1 P r = |z| b · i r · sin( φ ) r · cos( φ ) φ } muster Re Im 10 20 30 40 50 – 10 10i 20i 30i 40i –40i –30i –20i – 10i 0 φ ' P' = (12 1 35) P = (12 1 –35) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv