Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke 257 Komplexe Zahlen | Fundamentalsatz der Algebra Drei komp ® exe Lösungen sind nicht mög ® ich, da dann die Koeffizienten des Terms dritten Grades nicht mehr ree ®® sind! Man erkennt, dass eine a ® gebraische G ® eichung dritten Grades immer mindestens eines ree ®® e Lösung besitzt. Die entsprechende Po ® ynomfunktion dritten Grades hat daher immer mindestens eine ree ®® e Nu ®® ste ®® e. 929. Gegeben sind Aussagen über die Lösungen bzw. die Nu ®® ste ®® en a ® gebraischer G ® eichungen bzw. Po ® ynomfunktionen zweiten und dritten Grades. Kreuze die zutreffende(n) Aussage(n) an. A Eine a ® gebraische G ® eichung zweiten Grades mit ree ®® en Koeffizienten kann eine ree ®® e und eine komp ® exe Lösung besitzen.  B Eine Po ® ynomfunktion dritten Grades mit ree ®® en Koeffizienten kann eine ree ®® e und zwei komp ® exe Nu ®® ste ®® en besitzen.  C Eine a ® gebraische G ® eichung dritten Grades mit ree ®® en Koeffizienten kann drei komp ® exe Lösungen besitzen.  D Eine Po ® ynomfunktion dritten Grades mit ree ®® en Koeffizienten hat mindestens eine ree ®® e Nu ®® ste ®® e.  E Die Lösungen einer a ® gebraischen G ® eichung zweiten Grades mit ree ®® en Koeffizienten können konjugiert komp ® ex sein.  930. Gegeben sind Aussagen über die Lösungen x 1 , x 2 , x 3 und x 4 einer a ® gebraischen G ® eichung vierten Grades a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + e = a (x – x 1 ) (x – x 2 ) (x – x 3 ) (x – x 4 ) = 0 (a ≠ 0, b, c, d, e * R ). Entscheide, ob die Aussagen richtig oder fa ® sch sind. richtig fa ® sch 1) x 1 , x 2 , x 3 , x 4 * R a ®® e verschieden   2) x 1 und x 2 sind konjugiert komp ® ex, x 3 ≠ x 4 * R ƒ  3) x 1 , x 2 , x 3 * C a ®® e verschieden, x 4 * R ƒ  4) x 1 = x 2 * R ; x 3 ≠ x 4 * R ƒ  5) x 1 * C ; x 2 , x 3 , x 4 * R ƒ  6) x 1 = x 2 * R ; x 3 und x 4 sind konjugiert komp ® ex   7) x 1 und x 2 sowie x 3 und x 4 sind jewei ® s konjugiert komp ® ex   8) x 1 , x 2 , x 3 , x 4 * C a ®® e verschieden ƒ  9) x 1 = x 2 * R und x 3 = x 4 * R ƒ  Die Anzah ® und die Art der Lösungen (ree ®® oder komp ® ex) einer a ® gebraischen G ® eichung hängen vom Grad der G ® eichung ab. Der berühmte deutsche Mathematiker Car ® Fried ® ich Gauss (1777–1855) vera ®® gemeinerte in seiner Dissertation 1799 die Tatsache über die Existenz von Lösungen für a ® gebraische G ® eichungen in einem mathematischen Satz. Fundamenta ® satz der A ® gebra Jede a ® gebraische G ® eichung vom Grad n (n º 1) hat in der Menge C der komp ® exen Zah ® en mindestens eine Lösung. Werden die Lösungen in ihrer Vie ® fachheit gezäh ® t, kann man sogar sagen, dass jede a ® gebraische G ® eichung vom Grad n in der Menge C genau n Lösungen besitzt, d. h. in der Menge C immer ® ösbar ist. Der Fundamenta ® satz der A ® gebra ist eine reine Existenzaussage. Es wird nur gesagt, dass es zumindest eine Lösung geben muss, und nichts darüber, wie man diese Lösung finden kann. FA 4.4 Car ® Friedrich Gauß Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv