Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

256 kompe- tenzen 11.4 Fundamenta ® satz der A ® gebra Lernzie ® e: º Den Fundamenta ® satz der A ® gebra kennen Grundkompetenz für die schrift ® iche Reifeprüfung: FA 4.4 Den Zusammenhang zwischen dem Grad der Po ® ynomfunktion und der Anzah ® der Nu ®® ste ®® en […] wissen [Erkennen des Fundamenta ® satzes der A ® gebra] Nach dem Satz von Vieta kann man den quadratischen Term der G ® eichung x 2 + p x + q = 0 (p, q * R ) mit den Lösungen x 1 und x 2 in ein Produkt von Linearfaktoren zer ® egen. Es gi ® t: x 2 + p x + q = (x – x 1 )(x – x 2 ). Für die Lösungen können drei Fä ®® e unterschieden werden: 1) x 1 ≠ x 2 * R , d. h. es gibt zwei verschiedene ree ®® e Lösungen. 2) x 1 = x 2 * R , d. h. es gibt eine ree ®® e Doppe ®® ösung. 3) x 1 und x 2 sind zwei konjugiert komp ® exe Zah ® en. 927. Zer ® ege den quadratischen Term der G ® eichung in ein Produkt von Linearfaktoren. a) 3 x 2 + 17x – 28 = 0 b) x 2 – 22 x + 121 = 0 c) x 2 – 2 x + 10 = 0 Man hebt gegebenenfa ®® s den Koeffizienten des quadratischen G ® iedes heraus und setzt für p bzw. q die entsprechenden Werte in die „k ® eine Lösungsforme ® “ für quadratische G ® eichungen der Art x 2 + p x + q = 0 ein: x 1 = ‒ p _ 2 – 9 _____ 2 ‒ p _ 2 3 2 – q bzw. x 2 = ‒ p _ 2 + 9 _____ 2 ‒ p _ 2 3 2 – q a) Es ist 3 x 2 + 17x – 28 = 3 2 x 2 + 17 _ 3 x – 28 _ 3 3 . Für p = 17 _ 3 und q = ‒ 28 _ 3 erhä ® t man x 1 = ‒ 17 _ 6 – 9 ______ 2 ‒ 17 _ 6 3 2 + 28 _ 3 = ‒7 bzw. x 2 = ‒ 17 _ 6 – 9 ______ 2 ‒ 17 _ 6 3 2 + 28 _ 3 = 4 _ 3 . Damit ergibt sich die Zer ® egung 3 x 2 + 17x – 28 = 3 (x + 7) 2 x – 4 _ 3 3 . b) Für p = ‒ 22 und q = 121 erhä ® t man: x 1 = 11 – 9 _____ 11 2 – 121 = 11 bzw. x 2 = 11 + 9 _____ 11 2 – 121 = 11. Es gi ® t dann: x 2 – 22 x + 121 = (x – 11) (x – 11) = (x – 11) 2 c) Für p = ‒ 2 und q = 10 erhä ® t man x 1 = 1 – 9 ____ 1 2 – 10 = 1 – 9 __ ‒ 9 = 1 – 3 i bzw. x 2 = 1 + 9 ____ 1 2 – 10 = 1 + 9 __ ‒ 9 = 1 + 3 i. Es gi ® t dann: x 2 – 2 x + 10 = (x – 1 + 3 i) (x – 1 – 3 i) 928. Zer ® ege den quadratischen Term der G ® eichung in ein Produkt von Linearfaktoren. a) 4 x 2 + 12 x + 9 = 0 b) x 2 – 4 x + 5 = 0 c) 5 x 2 – 53 x – 84 = 0 d) x 2 – 10 x + 29 = 0 Betrachtet man die a ®® gemeine quadratische Funktion f(x) = ax 2 + bx + c (mit a, b, c * R , a ≠ 0) gibt es nach den obigen Über ® egungen entweder zwei verschiedene ree ®® e Nu ®® ste ®® en, eine ree ®® e Doppe ® nu ®® ste ®® e bzw. keine Schnittste ®® en mit der waagrechten Koordinatenachse. Eine a ® gebraische G ® eichung a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 bzw. eine Po ® ynomfunktion f(x) = a x 3 + b x 2 + c x + d dritten Grades mit den ree ®® en Koeffizienten a ( ≠ 0), b, c und d kann nun drei Lösungen bzw. Nu ®® ste ®® en x 1 , x 2 und x 3 haben, und es kann nach dem Satz von Vieta gefo ® gert werden: a x 3 + b x 2 + c x + d = a (x – x 1 ) (x – x 2 ) (x – x 3 ) Für die Lösungen können von dieser Zer ® egung ausgehend fo ® gende Fä ®® e unterschieden werden: 1) x 1 ≠ x 2 ≠ x 3 * R , d. h. es gibt drei verschiedene ree ®® e Lösungen. 2) x 1 = x 2 = x 3 * R , d. h. es gibt eine dreifache ree ®® e Lösung. 3) x 1 = x 2 * R , x 3 * R und x 3 ≠ x 1, 2 , d. h. es gibt zwei ree ®® e Lösungen mit einer Doppe ®® ösung. 4) x 1 * R , x 2 und x 3 sind zwei konjugiert komp ® exe Lösungen. muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv