Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke 255 Komplexe Zahlen | Lösen von Gleichungen Lösungen einer quadratischen G ® eichung Eine a ®® gemeine quadratische G ® eichung a x 2 + b x + c = 0 mit a, b, c * R besitzt in der Menge C mindestens eine Lösung. – Die G ® eichung hat eine ree ®® e Lösung, wenn D = b 2 – 4 a c = 0. – Die G ® eichung hat zwei ree ®® e Lösungen, wenn D = b 2 – 4 a c > 0. – Die G ® eichung hat zwei zueinander konjugiert komp ® exe Lösungen, wenn D = b 2 – 4 a c < 0. 919. Löse die G ® eichung in der Menge C und mache die Probe. a) x 2 + 17x + 72 = 0 c) x 2 + 8 x + 25 = 0 e) 25 x 2 – 10 x + 1 = 0 b) 2 x 2 = 3 x + 5 d) 16 x 2 = ‒ 8 x – 5 f) 4 x 2 – 28 x + 49 = 0 920. Löse die G ® eichung in der Menge C und mache die Probe. a) x 2 – 10 x + 34 = 0 c) 9 x 2 = 6 x – 26 e) x(10 – x) = 40 b) x 2 – 4 x + 53 = 0 d) 4 x 2 – 12 x = ‒ 25 f) 4 x · (4 x – 12) = ‒ 37 921. Gegeben ist die G ® eichung (x – 5) 2 = a. Bestimme a ®® e Werte a * R , für die die G ® eichung keine ree ®® e Lösung besitzt. 922. Ordne jeder Lösungsmenge die passende quadratische G ® eichung zu. L = {5} L = { } L = {0; 5} L = {‒ 5; 5} A B C D E F (x + 5) 2 = 0 x · (x – 5) = 0 ‒ x 2 = 25 (x – 5) 2 = 0 x · (x + 5) = 0 (x – 5) (x + 5) = 0 923. Gib eine G ® eichung an, die die gegebene Bedingung erfü ®® t. a) Die G ® eichung ist in der Menge R , aber nicht in der Menge Q ® ösbar. b) Die G ® eichung ist in der Menge C , aber nicht in der Menge R ® ösbar. 924. Die quadratische G ® eichung x 2 – 6 x + 10 = 0 hat die Lösungen z 1 = 3 + i und z 2 = 3 – i. Zeige: 1) x 2 + 6 x + 10 = (x – z 1 ) · (x – z 2 ) 2) 6 = ‒ (z 1 + z 2 ) 3) 10 = z 1 · z 2 . 1) (x – z 1 ) · (x – z 2 ) = (x – (3 + i)) · (x – (3 – i)) = x 2 – (3 + i)x – (3 – i)x + (3 – i) · (3 + i) = = x 2 – 3 x + ix – 3 x – ix + 9 + 1 = x 2 – 6 x + 10 2) ‒ (z 1 + z 2 ) = ‒ (3 + i + 3 – i) = ‒ 6 3) z 1 · z 2 = (3 + i) · (3 – i) = 3 2 + 1 2 = 10 Man erkennt, dass auch im komp ® exen Fa ®® der quadratische Term in ein Produkt ® inearer Faktoren zer ® egt werden kann und der Satz von Vieta seine Gü ® tigkeit behä ® t. 925. Zer ® ege den Term in ein Produkt von Linearfaktoren. a) x 2 + 14 x + 53 b) x 2 – x – 132 c) 4 x 2 + 4 x + 82 d) x 2 + 10 x + 41 e) 2 x 2 + x – 45 926. Bestimme die G ® eichung x 2 + p x + q = 0 (p, q * R ), die die Lösungen z 1 und z 2 besitzt. a) z 1 = 1 + 6 i, z 2 = 1 – 6 i b) z 1 = ‒ 6 + 4 i, z 2 = ‒ 6 – 4 i c) z 1 = 6 i, z 2 = ‒ 6 i AG 2.3 AG 2.3 muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv