Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke Merke 253 Komplexe Zahlen | Rechnen mit komplexen Zahlen in kartesischer Darstellung Mu ® tip ® ikation einer komp ® exen Zah ® mit der zugehörigen konjugiert komp ® exen Zah ® Wird eine komp ® exe Zah ® z = a + b · i (a, b * R ) mit der konjugiert komp ® exen Zah ® _ z = a – b · i mu ® tip ® iziert, ist das Ergebnis immer eine ree ®® e Zah ® : z · _ z = (a + b · i) · (a – b · i) = a 2 – (b · i) 2 = a 2 – b 2 · i 2 = a 2 – b 2 · (‒1) = a 2 + b 2 Das Produkt ist die Summe der Quadrate von Rea ® - und Imaginärtei ® . Damit gi ® t für den Betrag einer komp ® exen Zah ® † z † = 9 ___ z · z . Betrachtet man die Erkenntnis aus dem Merkkasten sieht man, dass es in der Menge der komp ® exen Zah ® en auch eine Forme ® für die Zer ® egung des Terms a 2 + b 2 = (a + b· i) · (a – b· i) gibt. In R konnte man nur Terme der Art a 2 – b 2 = (a + b) · (a – b) in Faktoren zer ® egen. 911. Zer ® ege in ein Produkt zweier zueinander konjugiert komp ® exer Zah ® en. a) 9 x 2 + y 2 b) u 2 + 1 c) 9 y 2 + 4 d) 16 v 2 + 36w 2 e) 1 + 100 x 2 Bei der Division von zwei komp ® exen Zah ® en greift man auf die Erkenntnisse mit konjugiert komp ® exen Zah ® en zurück. Es wird mit der konjugiert komp ® exen Zah ® des Nenners erweitert. a + b i _ c + d i = (a + b i) (c‒ d i) __ (c + d i) (c‒ d i) = (a c + bd) + (b c‒ a d) i ___ c 2 + d 2 = a c + bd __ c 2 + d 2 + b c‒ a d _ c 2 + d 2 i Division komp ® exer Zah ® en Zwei komp ® exe Zah ® en werden dividiert, indem man die Division a ® s Bruch anschreibt und mit der konjugiert komp ® exen Zah ® des Nenners erweitert. 912. Berechne den Quotienten a) (2 – 4 i) : (‒1 + 3 i) b) (‒ 5 + 2 i) : (‒ i) Man schreibt einen Bruch und erweitert mit der konjugiert komp ® exen Zah ® des Nenners. a) (2 – 4 i) : (‒1 + 3 i) = 2‒ 4 i _ ‒1 + 3 i = (2‒ 4 i) (‒1‒ 3 i) ___ (‒1 + 3 i) (‒1‒ 3 i) = ‒ 2 + 4 i‒ 6 i + 12 i 2 ___ (‒1) 2 + 3 2 = ‒ 2 + 4 i‒ 6 i‒12 __ 10 = ‒14‒ 2 i _ 10 = ‒ 7 _ 5 – 1 _ 5 i b) (‒ 5 + 2 i) : (‒ i) = ‒ 5 + 2 i _ ‒ i = (‒ 5 + 2 i) · i __ ‒ i · i = ‒ 5 i + 2 i 2 __ ‒ i 2 = ‒ 5 i‒ 2 _ ‒ (‒1) = ‒ 2 – 5 i 913. Berechne den Quotienten. a) (‒ 2 + 3 i) : (1 – 2 i) c) 1 : (3 + i) e) (7 – 12 i) : (‒ i) g) ‒ i : (4 + 5 i) b) (3 – 7 i) : (‒ 3 + 2 i) d) ‒ 5 : (‒ 3 + 4 i) f) (‒1 – 9 i) : i h) i : (‒ 2 + i) 914. Berechne die Quotienten z 1 _ z 2 und z 2 _ z 1 . a) z 1 = ‒1 + i; z 2 = 1 + 4 i c) z 1 = ‒ 5 + 2 i; z 2 = 2 – 5 i e) z 1 = 10; z 2 = 4 + 3 i b) z 1 = i; z 2 = ‒1 – i d) z 1 = ‒ 4; z 2 = ‒10 + 5 i f) z 1 = ‒ 5 + i; z 2 = ‒ 2 – i 915. Vervo ®® ständige den fo ® genden Satz, sodass er mathematisch korrekt ist. Bestimmt man den Quotienten (2 + 3 i) : (2 – 4 i), so hat der (1) den Wert (2) . (1) (2) Rea ® tei ®  0,4  Imaginärtei ®  2  Nenner  0,7  muster Nur zu Prüfzwecken d – Eigentum des Verlags öbv