Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

techno- logie 249 Komplexe Zahlen | Die imaginäre Einheit 887. Berechne den Wert der Potenz. a) i 45 b) (‒ i) 30 Es gi ® t i 0 = i 4 = i 8 = i 12 = i 4·k = 1 (k * N ). Man zer ® egt daher den Exponenten in die Summe des größtmög ® ichen Vie ® fachen von 4 und dem entsprechenden Rest 0, 1, 2 oder 3. a) i 45 = i 4·11 + 1 = i 44 · i 1 = 1 · i = i b) (‒ i) 30 = (‒1) 30 · i 30 = i 4·7 + 2 = i 28 · i 2 = 1 · (‒1) = ‒1 888. Berechne den Wert der Potenz. a) i 17 b) i 42 c) ‒ i 175 d) (‒ i) 8109 e) ‒ (‒ i) 99991 889. Ordne den Rechnungen die passenden Ergebnisse zu. i 124 + i 12 2 i 45 + 3 i 85 – i 41 i 50 – 2 i 86 – 10 i 122 i 211  – (‒ i 171 ) A B C D E F 4 i 2 ‒ 2 ‒ 2 i ‒ 4 i 11 890. Formu ® iere a ®® gemeine Rege ® n für die Vereinfachung der Potenzen von i. Betrachte die Potenzen von i mit den Exponenten 4 k, 4 k + 1, 4 k + 2 und 4 k + 3 (k * Z 0 + ). 891. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A Jede rationa ® e Zah ® ist auch eine komp ® exe Zah ® .  B Jede komp ® exe Zah ® ist auch eine ree ®® e Zah ® .  C Die Potenzen der imaginären Einheit sind immer ree ®® e Zah ® en.  D Der Wert von i 40 ist eine natür ® iche Zah ® .  E Wird i mit einer ungeraden Hochzah ® potenziert, ist das Ergebnis immer ‒ i.  Imaginäre Einheit Geogebra: í im Menü α auswäh ® en Beispie ® : ‒ 4 + 5 í TI-Nspire: i im Menü π  > auswäh ® en Beispie ® : 3 i Gaußsche Zah ® enebene Jede komp ® exe Zah ® a + b · i mit dem Rea ® tei ® a * R und dem Imaginärtei ® b * R ist durch das geordnete Zah ® enpaar (a, b) eindeutig festge ® egt. Dieses Zah ® enpaar kann a ® s Vektor (Punkt oder Pfei ® ) in einer Ebene interpretiert werden. Diese Ebene bezeichnet man a ® s komp ® exe Zah ® enebene oder Gaußsche Zah ® enebene. A ®® e Punkte der Art (a, 0) ® iegen auf der waagrechten ree ®® en (Zah ® en-)Achse, die Punkte der Art (0 1 b) ® iegen auf der senkrechten imaginären (Zah ® en-)Achse. Der Koordinatenursprung (Nu ®® punkt) entspricht der komp ® exen Zah ® 0 + 0 · i. muster TIPP AG 1.1 Re Im 0 b · i a z = a + bi Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv