Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke 248 Komplexe Zahlen 11 Im Besonderen gi ® t dann: 9 __ ‒1 = i Für 9 __ ‒ 4 ergibt sich damit die fo ® gende neue Schreibweise: 9 __ ‒ 4 = 2 · 9 __ ‒1 = 2 i. 884. Schreibe mithi ® fe der imaginären Einheit an. a) 9 __ ‒ 3 b) 9 ___ ‒ 36 c) 7 + 9 __ ‒ 2 d) ‒ 5 – 9 __ ‒ 9 e) 1 + 9 __ ‒1 Es wurde mit der Einführung der imaginären Einheit ein neuer Zah ® enbereich „erfunden“, in dem man auch die Quadratwurze ® n aus negativen Zah ® en zu ® ässt. Imaginäre und komp ® exe Zah ® en – A ®® e Vie ® fachen der imaginären Einheit b · i mit b * R \{0} heißen imaginäre Zah ® en . – Mathematische Ausdrücke der Form a + b· i mit a, b * R heißen komp ® exe Zah ® en . Diese Darste ®® ung wird auch kartesische Darste ®® ung genannt. – a wird a ® s Rea ® tei ® und b a ® s Imaginärtei ® der komp ® exen Zah ® bezeichnet. – Die Menge der komp ® exen Zah ® en wird mit C bezeichnet. 885. Gib den Rea ® tei ® und den Imaginärtei ® der komp ® exen Zah ® an. a) 2 + 3 · i b) ‒1,2 + 4 · i c) 0 – i d) 7 – 8,2 · i e) ‒ 2 _ 3 + 0 · i Die Existenz der komp ® exen Zah ® en vorausgesetzt kann man festste ®® en, dass die ree ®® en Zah ® en R eine Tei ® menge der Menge C sein müssen, da sich jede ree ®® e Zah ® a auch a ® s komp ® exe Zah ® schreiben ® ässt: a = a + 0 · i Beim Umgang mit Quadratwurze ® n aus negativen Zah ® en ist a ®® erdings auch Vorsicht geboten: ‒1 = i 2 = i · i = 9 __ ‒1 · 9 __ ‒1 = 9 ______ (‒1) · (‒1) = 9 _ 1 = 1 w ein Widerspruch Wie man sieht, gi ® t die Rechenrege ® 9 ___ a · b = 9 _ a · 9 _ b für negative ree ®® e Zah ® en a und b nicht mehr. Aus diesem Grund so ®® te man die Schreibweise 9 __ ‒ a vermeiden und stattdessen g ® eich 9 _ a · i verwenden. 886. Kreuze die Zah ® enmenge(n) an, in der/in denen die angegebene Zah ® ® iegt. N Z Q R C a) ‒ 31 A  B  C  D  E  b) 2,3 i A  B  C  D  E  c) 9 __ 169 A  B  C  D  E  d) ‒7 + i A  B  C  D  E  e) 9 _____ ‒ 0,0196 A  B  C  D  E  f) 13 A  B  C  D  E  Potenzen von i Die Potenzen der imaginären Einheit ergeben immer die ree ®® en Zah ® en 1 bzw. ‒1 oder die imaginären Zah ® en i bzw. ‒ i. i 0 = 1 i 2 = i · i = ‒1 i 4 = i 2 · i 2 = (‒1) · (‒1) = 1 i 6 = i 5 · i = i · i = i 2 = ‒1 i 1 = i i 3 = i 2 · i = ‒1 · i = ‒ i i 5 = i 4 · i = 1 · i = i usw. Rea ® tei ® z = a + b i Imaginärtei ® imaginäre Einheit Arbeitsb ® att Zah ® enmengen p4jv8k AG 1.1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv