Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke Merke 247 kompe- tenzen 11.1 Die imaginäre Einheit Lernzie ® e: º Die Definition der imaginären Einheit kennen º Imaginäre und komp ® exe Zah ® en definieren können º Den Betrag einer komp ® exen Zah ® bestimmen können º Konjugiert komp ® exe Zah ® en definieren können º Komp ® exe Zah ® en graphisch darste ®® en können Grundkompetenz für die schrift ® iche Reifeprüfung: AG 1.1 Wissen über die Zah ® enmengen N , Z , Q , R , C verständig einsetzen können A ®® e bis jetzt bekannten Zah ® en ® assen sich mindestens einer der Zah ® mengen N , Z , Q oder R zuordnen. 883. Kreuze die Zah ® enmenge(n) an, in der / in denen die angegebene Zah ® ® iegt. N Z Q R a) ‒ 3,01 A  B  C  D  b) – 3 _ 12 A  B  C  D  c) 9 ___ 1,44 A  B  C  D  d) ‒ 9 __ 11 A  B  C  D  Betrachtet man den Ausdruck 9 __ ‒ 4 muss man festste ®® en, dass diese „Zah ® “ in keine der bereits bekannten Zah ® enmengen passt. A ®® e Zah ® enmengen haben sich durch Erweiterungen so ergeben, dass a ®® e Rechen- operationen prob ® em ® os darin durchgeführt werden können. Warum so ®® te dies beim Wurze ® ziehen von negativen Zah ® en nicht funktionieren? Wendet man die üb ® ichen Rechenrege ® n an, ® ässt sich die Wurze ® aus jeder negativen Zah ® auf die Wurze ® aus ‒1 zurückführen: 9 __ ‒ 4 = 9 ____ 4 · (‒1) = 9 _ 4 · 9 __ ‒1 = 2 · 9 __ ‒1. Es ste ®® t sich a ® so die Frage, ob es eine Zah ® gibt, deren Quadrat ‒1 ist. Desha ® b definiert man: Imaginäre Einheit Die imaginäre Einheit i ist jene Zah ® , für die gi ® t: i 2 = ‒1 Für eine positive ree ®® e Zah ® a ist ® aut Definition die Quadratwurze ® jene eindeutig bestimmte positive Zah ® 9 _ a, deren Quadrat wieder a ist. Um die Eindeutigkeit des Wurze ® zeichens weiter zu gewähr ® eisten, wird definiert: Quadratwurze ® einer negativen ree ®® en Zah ® 9 __ ‒ a = 9 _ a · i mit a * R + vorwissen N Z Q R C 2 π 0 1 2 3 e i –1 –3 –2i 2 + 3i –4 5 2 – –3 1 –2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv