Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke 239 kompe- tenzen 10.5 Geometrische Vertei ® ung Lernzie ® e: º Die Definition der geometrischen Vertei ® ung kennen º Den Erwartungswert und die Varianz einer geometrisch vertei ® ten Zufa ®® svariab ® en bestimmen können Die geometrische Vertei ® ung ist eine diskrete Vertei ® ung mit dem Parameter p. Man betrachtet auch hier Bernou ®® iversuche, a ® so eine Fo ® ge von unabhängigen Zufa ®® sexperimenten, die jewei ® s nur die Ergebnisse „Erfo ® g“ oder „Misserfo ® g“ haben. Bei gegebener Erfo ® gswahrschein ® ichkeit p interessiert man sich für die Wahrschein ® ichkeit, dass man genau k Versuche bis zum ersten Erfo ® g braucht. Man wirft zum Beispie ® einen sechsseitigen Würfe ® und möchte die Wahrschein ® ichkeit bestimmen, dass beim sechsten Wurf die Augenzah ® 1 erscheint. „Augenzah ® 1“ ist der gewünschte Erfo ® g, k = 6 die Anzah ® der Versuche bis zum Erfo ® g und p = 1 _ 6 die Erfo ® gs- wahrschein ® ichkeit. 1 – p = 5 _ 6 ist die Wahrschein ® ichkeit, dass die Augenzah ® 1 nicht auftritt. Die Zufa ®® svariab ® e X gibt die Anzah ® der Versuche bis zum Erfo ® g an. Da genau 5-ma ® hintereinander die Augenzah ® 1 nicht auftritt, gi ® t für die gesuchte Wahrschein ® ichkeit: P(X = 6) = 1 _ 6 · 2 5 _ 6 3 5 ≈ 0,067. Geometrische Vertei ® ung Gegeben ist ein Bernou ®® iversuch mit der Erfo ® gswahrschein ® ichkeit p. Die Zufa ®® svariab ® e X gibt die Anzah ® der Versuche bis zum ersten Erfo ® g an. Die Wahrschein ® ichkeitsvertei ® ung P(X = k) = p · (1 – p) k – 1 (Erfo ® g beim k-ten Versuch) heißt geometrische Vertei ® ung mit dem Parameter p Für den Erwartungswert E(x) und die Varianz V(X) gi ® t (ohne Beweis): E(x) = μ = 1 _ p V(X) = σ 2 = 1 – p _ p 2 861. In einer Werkstatt ist bekannt, dass 15% der Autos, die zur Reparatur kommen, einen Motor- schaden haben. Die Zufa ®® svariab ® e X gibt die Zah ® der ankommenden Autos bis zum ersten Fahrzeug mit einem Motorschaden an. a) Wie groß ist die Wahrschein ® ichkeit, dass das 10. angekommene Auto das erste mit einem Motorschaden ist? b) Bestimme den Erwartungswert E(X), die Varianz V(X) sowie die Standardabweichung σ . 862. Um beim „Mensch ärgere dich nicht“ ansetzen zu dürfen, muss eine 6 gewürfe ® t werden. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Würfe an, bis das erste Mal die 6 auftritt. a) Wie groß ist die Wahrschein ® ichkeit, dass man erst beim dritten Versuch eine 6 wirft? b) Bestimme den Erwartungswert E(X), die Varianz V(X) sowie die Standardabweichung σ . 863. Jemand hat zehn Sch ® üsse ® auf seinem Sch ® üsse ® bund, von denen einer sperrt. Er probiert einen Sch ® üsse ® . Passt dieser nicht ins Sch ® oss, schütte ® t er den Sch ® üsse ® bund und probiert erneut einen Sch ® üsse ® . Wie groß ist die Wahrschein ® icht, dass er auf diese Weise mit dem vierten ausprobierten Sch ® üsse ® die Türe öffnen kann? Die Zufa ®® svariab ® e X gibt die Anzah ® der Versuche an, bis der passende Sch ® üsse ® gefunden wird. Wie groß sind E(X), V(X) und σ ? Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv