Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

237 kompe- tenzen 10.4 Hypergeometrische Vertei ® ung Lernzie ® e: º Die Definition der hypergeometrischen Vertei ® ung kennen º Den Erwartungswert und die Varianz einer hypergeometrisch vertei ® ten Zufa ®® svariab ® en bestimmen können Wenn sich bei der wiederho ® ten Durchführung eines Zufa ®® sversuchs die Wahrschein ® ichkeit für einen Erfo ® g nicht ändert und die Zufa ®® svariab ® e diskret ist, ® iegt eine Binomia ® vertei ® ung vor. Dies ist offensicht ® ich bei Ziehvorgängen mit Zurück ® egen der Fa ®® , nicht aber beim Ziehen ohne Zurück ® egen . We ® che Wahrschein ® ichkeitsvertei ® ung sich in einem so ® chen Fa ®® ergibt, so ®® anhand eines Beispie ® s er ® äutert werden. In einem Küh ® schrank ® agern fünf Eier, von denen drei jedoch nicht mehr in Ordnung sind. Jemand entnimmt zwei Eier. Die Zufa ®® svariab ® e X gibt die Anzah ® der Eier an, die nicht in Ordnung sind. X kann die Werte 0, 1 oder 2 annehmen. Man interessiert sich für die Wahrschein ® ichkeit P(X = 1). Nach der Kombinatorik existieren 2 5 2 3 unterschied ® iche Mög ® ichkeiten aus fünf Eiern zwei (ohne Zurück ® egen) auszuwäh ® en. Für X = 1 gi ® t: Es werden ein sch ® echtes Ei und ein gutes Ei entnommen. Für das eine sch ® echte Ei gibt es 2 3 1 3 und für das eine gute Ei 2 2 1 3 unterschied ® iche Mög ® ichkeiten der Entnahme. Nach dem Zäh ® prinzip a ® so 2 3 1 3 · 2 2 1 3 günstige Fä ®® e. Daher gi ® t: f(1) = P(X = 1) = 2 3 1 3 2 2 1 3 _ 2 5 2 3 = 3 · 2 _ 10 = 3 _ 5 = 0,6 Die Wahrschein ® ichkeit, dass sich unter den zwei entnommenen Eiern ein sch ® echtes befindet, ist daher 0,6. A ®® gemein gi ® t für X = k: Es werden k sch ® echte Eier und 2 – k gute Eier entnommen. Für die k sch ® echten Eier gibt es 2 3 k 3 und für die 2 – k guten Eier 2 2 2 – k 3 unterschied ® iche Mög ® ichkeiten der Entnahme. Nach dem Zäh ® prinzip a ® so 2 3 k 3 · 2 2 2 – k 3 günstige Fä ®® e. Daher gi ® t: f(k) = P(X = k) = 2 3 k 3 2 2 2 – k 3 __ 2 5 2 3 für 0 ª k ª 2 und f(k) = 0, wenn k > 2 Weitere Vera ®® gemeinerung des Beispie ® s: N ist die Anzah ® der E ® emente einer Grundgesamt- heit, aus der n E ® emente ohne Zurück ® egen entnommen werden. Dafür gibt es 2 N n 3 unter- schied ® iche Mög ® ichkeiten. M ist die Anzah ® der E ® emente mit einer bestimmten Eigenschaft. Dann haben N – M E ® emente diese Eigenschaft nicht. Die Zufa ®® svariab ® e X gibt die Anzah ® der E ® emente mit der bestimmten Eigenschaft an. Interessiert man sich für die Wahrschein- ® ichkeit, dass die Zufa ®® svariab ® e X den natür ® ichen Wert k annimmt, gi ® t: P(X = k) = 2 M k 3 · 2 N – M n – k 3 __ 2 N n 3 Man spricht dann von einer hypergeometrischen Wahrschein ® ichkeitsvertei ® ung von X. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv