Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

234 Binomialverteilung und weitere Verteilungen 10 841. Bei einem Bernou ®® i-Experiment ist die Erfo ® gswahrschein ® ichkeit mit p (0 < p < 1) gegeben. Die Werte der binomia ® vertei ® ten Zufa ®® svariab ® en X geben die Anzah ® der Erfo ® ge beim n-ma ® igen unabhängigen Wiederho ® en des Versuchs an. E ist der Erwartungswert, V die Varianz und σ die Standardabweichung. Kreuze für n > 1 die zutreffende(n) Aussage(n) an. A  B  C  D  E  σ 2 = 9 _______ n · p · (1 – p) σ = 9 ___ V(X) V(X) = n · p · (1 – p) E(X) = n · (1 – p) E(X) = n · p 842. Ein sechsseitiger Würfe ® wird 18-ma ® geworfen. Die Zufa ®® svariab ® e X gibt die Anzah ® der dabei auftretenden Sechser an. Bestimme und interpretiere den Erwartungswert E(X) und die Standardabweichung σ . Die Zufa ®® svariab ® e ist binomia ® vertei ® t, da jeder einze ® ne Wurf ein Bernou ®® i-Versuch mit der Erfo ® gswahrschein ® ichkeit p ist. Für die Parameter gi ® t: n = 18 und p = 1 _ 6 . E(X) = μ = 18 · 1 _ 6 = 3 und V(X) = 18 · 1 _ 6 · 5 _ 6 = 5 _ 2 = 2,5. Daher ist σ = 9 __ 2,5 ≈ 1,58 Das bedeutet: Wird der beschriebene Zufa ® Isversuch sehr oft wiederho ® t, nähern sich auf ® ange Sicht gesehen die Werte für den Mitte ® wert und der empirischen Varianz der Daten- reihen den Werten μ = 3 und V(X) = 2,5 an. Da σ ≈ 1,58 ist, werden es oft 3 ± 1,58, d. h. zwei bis vier Sechser, sein. Aus 3 + 2 σ ≈ 6,16 fo ® gt, dass sieben Sechser oder mehr se ® ten sein werden. 3 – 2 σ < 0 b ® eibt unberücksichtigt. Der Erwartungswert einer binomia ® vertei ® ten Zufa ®® svariab ® en entspricht dem ® angfristigen Durchschnittswert (Mitte ® wert) der Erfo ® ge eines Experiments. Ist die Varianz sehr k ® ein, kann man erwarten, dass ein Großtei ® der Zufa ®® sergebnisse nahe am Erwartungswert ® iegen. Ist die Varianz sehr groß, ist zu erwarten, dass sich die Zufa ®® sergebnisse eher stark vertei ® en. Die Standardabweichung bei einer binomia ® vertei ® ten Zufa ®® svariab ® en kann a ® s Maßzah ® verwendet werden, wo ungefähr die Grenze zwischen „tritt häufig ein“ oder „tritt eher se ® ten ein“ ® iegt. Man kann sagen, dass die Erfo ® ge „häufig“ im Bereich μ ± σ und „eher se ® ten“ außerha ® b von μ ± 2 σ ® iegen. 843. Eine Münze wird 30-ma ® geworfen. Die Zufa ®® svariab ® e X gibt die Zah ® der dabei auftretenden „Kopf“-Würfe an. Berechne für X den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ . Interpretiere die erha ® tenen Werte. 844. Es wird 36-ma ® mit einem sechsseitigen Würfe ® gewürfe ® t. Die Zufa ®® svariab ® e X gibt die Anzah ® der dabei auftretenden Einser an. Berechne für X den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ . Interpretiere die erha ® tenen Werte. 845. Eine Maschine produziert 10% Ausschuss. Es werden aus der Produktion 30 Artike ® entnommen und untersucht. Die Zufa ®® svariab ® e X gibt die Anzah ® der dabei gefundenen Ausschussstücke an. Berechne für X den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ . Interpretiere die erha ® tenen Werte. 846. In einer Firma werden täg ® ich über 30 000 Schrauben produziert. Die Wahrschein ® ichkeit, dass eine Schraube feh ® erhaft ist, ist 5%. Die Zufa ®® svariab ® e X gibt die Anzah ® der feh ® erhaften Schrauben an. Wie vie ® Ausschuss an Schrauben kann man durchschnitt ® ich erwarten? Wie stark streut dieser Wert? WS 3.2 muster WS 3.2 WS 3.2 WS 3.2 WS 3.2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv