Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke 233 kompe- tenzen 10.3 Erwartungswert und Varianz einer binomia ® vertei ® ten Zufa ®® svariab ® en Lernzie ® e: º Den Erwartungswert einer binomia ® vertei ® ten Zufa ®® svariab ® e bestimmen können º Den Erwartungswert interpretieren können º Die Varianz und die Standardabweichung einer binomia ® vertei ® ten Zufa ®® svariab ® e bestimmen können º Die Varianz bzw. die Standardabweichung interpretieren können Grundkompetenz für die schrift ® iche Reifeprüfung: WS 3.2 […] Erwartungswert sowie Varianz/Standardabweichung binomia ® vertei ® ter Zufa ®® sgrößen ermitte ® n können […] Der Erwartungswert E(X) = μ , die Varianz V(X) = σ 2 und die Standardabweichung σ = 9 ___ V(X) für diskrete Zufa ®® svariab ® en wurden bereits im Kapite ® 9 besprochen. Auch für eine binomia ® - vertei ® te Zufa ®® svariab ® e X können nun diese Maßzah ® en ermitte ® t werden. Man betrachtet zunächst die Parameter p (Erfo ® gswahrschein ® ichkeit) und n = 2. Für die Wahrschein ® ichkeitsvertei ® ung f gi ® t dann: f(0) = P(X = 0) = 2 2 0 3 · p 0 · (1 – p) 2 = 1 ·1 · (1 – p) 2 = (1 – p) 2 f(1) = P(X = 1) = 2 2 1 3 · p 1 · (1 – p) 1 = 2 · p · (1 – p) f(2) = P(X = 2) = 2 2 2 3 · p 2 · (1 – p) 0 = 1 · p 2 ·1 = p 2 Für den Erwartungswert und die Varianz ergeben sich ® aut Definition: E(X) = 0 · f(0) + 1 · f(1) + 2 · f(2) = 0 · (1 – p) 2 + 1 · 2 p(1 – p) + 2 p 2 = 2 p – 2 p 2 + 2 p 2 = 2 p V(X) = σ 2 = [0 2 · f(0) + 1 2 · f(1) + 2 2 · f(2)] – μ 2 = [2 p(1 – p) + 4 p 2 ] – 4 p 2 = 2 p(1 – p) 840. Gegeben ist die binomia ® vertei ® te Zufa ®® svariab ® e X. Bestimme mit der Erfo ® gswahrschein ® ich- keit p und n = 3 für X den Erwartungswert μ und die Varianz σ 2 . Für die Parameter p und n = 2 ergeben sich E(X) = 2p und V(X) = 2 p (1 – p) und für die Parameter p und n = 3 die Ausdrücke E(X) = 3p und V(X) = 3 p (1 – p). Es kann für eine binomia ® vertei ® te Zufa ®® svariab ® e X mit den Parametern p und einem be ® iebigen natür ® ichen n gezeigt werden: Erwartungswert und Varianz Ist X eine binomia ® vertei ® te Zufa ®® svariab ® e mit den Parametern p und n, so gi ® t für den Erwartungswert und die Varianz von X: μ = E(X) = n · p σ 2 = V(X) = n · p · (1 – p) Die Forme ® zur Berechnung des Erwartungswerts wird auf Seite 274 a ®® gemein bewiesen. Auf den Beweis für V(X) wird wegen seiner Schwierigkeit und Komp ® exität nicht eingegangen. Nur zu Prüfzweck n 2 – Eigentum des Verlags öbv