Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

techno- logie 228 Binomialverteilung und weitere Verteilungen 10 819. Eine Eisenwarenhand ® ung verkauft Schrauben in Packungen zu je 200 Stück. Der Ausschuss- antei ® pro Packung wurde über einen ® ängeren Zeitraum beobachtet und mit 4% festgeste ®® t. Erk ® äre, warum die Zufa ®® svariab ® e X = „Anzah ® der defekten Schrauben“ binomia ® vertei ® t ist. Wie groß ist die Wahrschein ® ichkeit, dass in einer Packung a) genau sieben b) höchstens sieben c) mehr a ® s sieben aber höchstens e ® f Schrauben d) mindestens zwei Schrauben einen Defekt aufweisen? Die Zufa ®® svariab ® e X gibt die Anzah ® der defekten Schrauben an. Es ® iegt eine Binomia ® - vertei ® ung vor, wei ® X eine diskrete Zufa ®® svariab ® e ist, es nur zwei mög ® iche Ausgänge, „Schraube defekt“ oder „Schraube nicht defekt“ gibt und die Erfo ® gswahrschein ® ichkeit für X immer 4% = 0,04 ist. a) P(X = 7) = 2 200 7 3 · 0,04 7 · 0,96 193 ≈ 0,1417 b) Es können 0, 1, 2, …, 7 Schrauben defekt sein. Die Summe der Einze ® wahrschein ® ichkeiten ergibt die gesuchte Wahrschein ® ichkeit. P(X ª 7) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + … + P(X = 7) ≈ 0,4501 c) Es können 8, 9, 10 oder 11 Schrauben defekt sein. P(7 < X ª 11) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) + P(X = 11) ≈ 0,4424 d) Da P(X º 2) aufwendig zu berechnen ist, kommt man mit der Gegenwahrschein ® ichkeit schne ®® er ans Zie ® : P(X º 2) = 1 – P(x < 2) = 1 – [P(X = 0) + P(X = 1)] ≈ 0,9973 Binomia ® vertei ® ung Geogebra: im Wahrschein ® ichkeitsrechner unter „binomia ® “ die Werte für n und p eintragen TI-Nspire: Im Menü Wahrschein ® ichkeit w Vertei ® ungen Binomia ® Pdf (Einze ® werte) bzw. Binomia ® Cdf (Bereiche) die Werte für p, n bzw. die Schranken eintragen. 820. Ein Schütze trifft mit 70%-iger Wahrschein ® ichkeit das Zie ® . Es werden acht Schüsse abgegeben. Die Zufa ®® svariab ® e X gibt die Anzah ® der Treffer an. a) Erk ® äre, warum X eine binomia ® vertei ® te Zufa ®® svariab ® e ist. b) Wie groß ist die Wahrschein ® ichkeit, dass der Schütze das Zie ® bei den ersten fünf Schüssen trifft und dann nicht mehr? c) Wie groß ist die Wahrschein ® ichkeit, dass der Schütze das Zie ® genau fünfma ® trifft? d) Wie groß ist die Wahrschein ® ichkeit, dass der Schütze das Zie ® höchstens einma ® trifft? e) Wie groß ist die Wahrschein ® ichkeit, dass der Schütze das Zie ® mindestens zweima ® trifft? 821. Erhebungen der Exekutive haben ergeben, dass in einer Großstadt jede achte Person, die ein Auto ® enkt, bei einer Kontro ®® e den Sicherheitsgurt nicht ange ® egt hat. Es werden vier Personen kontro ®® iert. Die Zufa ®® svariab ® e X gibt die Anzah ® der Personen an, die ohne ange ® egten Sicherheitsgurt erwischt werden. a) Erk ® äre, warum X eine binomia ® vertei ® te Zufa ®® svariab ® e ist. b) Wie groß ist die Wahrschein ® ichkeit, dass nur die ersten beiden kontro ®® ierten Autofah- rerinnen und Autofahrer den Gurt nicht ange ® egt haben? c) Wie groß ist die Wahrschein ® ichkeit, dass höchstens eine Autofahrerin bzw. ein Autofahrer den Gurt nicht ange ® egt hat? d) Wie groß ist die Wahrschein ® ichkeit, dass mindestens zwei Autofahrerinnen bzw. Auto- fahrer den Gurt nicht ange ® egt haben? e) Wie groß ist die Wahrschein ® ichkeit, dass mindestens zwei und weniger a ® s vier Auto- fahrerinnen bzw. Autofahrer ohne Gurt erwischt werden? muster Techno ® ogie An ® eitung Binomia ® vertei ® ung v2nf54 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv