Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke 227 kompe- tenzen 10.2 Binomia ® vertei ® ung Lernzie ® e: º Die Binomia ® vertei ® ung einer Zufa ®® svariab ® e erkennen und berechnen können º Die Eigenschaften der Binomia ® vertei ® ung benennen können º Bernou ®® i-Versuche erkennen können Grundkompetenz für die schrift ® iche Reifeprüfung: WS 3.2 Binomia ® vertei ® ung a ® s Mode ®® einer diskreten Vertei ® ung kennen […] Wahrschein ® ichkeitsvertei ® ung binomia ® vertei ® ter Zufa ®® sgrößen angeben können, Arbeiten mit der Binomia ® vertei ® ung in anwendungsorientierten Bereichen WS 3.3 Situationen erkennen und beschreiben können, in denen mit Binomia ® vertei ® ung mode ®® iert werden kann Die Binomia ® vertei ® ung ste ®® t eine wichtige Wahrschein ® ichkeitsvertei ® ung einer Zufa ®® s- variab ® en X dar. Linda und ihre Freundin Kathi spie ® en Tennis. Aus Erfahrung weiß man, dass Linda a ® s bessere Spie ® erin gegen Kathi jedes Spie ® mit einer Wahrschein ® ichkeit von 60% = 0,6 gewinnt. Sie spie ® en sechs Spie ® e. Linda interessiert sich für die Wahrschein ® ichkeit, vier von den sechs Spie ® en zu gewinnen. Die Wahrschein ® ichkeit, dass Linda g ® eich die ersten vier Spie ® e gewinnt, ® ässt sich nach dem Mu ® tip ® ikationssatz sofort berechnen: P(die ersten vier von sechs Spie ® en gewinnen, die rest ® ichen ver ® ieren) = 0,6 4 · 0,4 2 ≈ 0,021 Wie bestimmt man aber die Wahrschein ® ichkeit, mit der sie von den sechs Spie ® en be ® iebige vier Spie ® e gewinnt? Die Zufa ®® svariab ® e X gibt die Anzah ® der von Linda gewonnen Spie ® e an. Gesucht ist nun die Wahrschein ® ichkeit P(X = 4). Der Binomia ® koeffizient 2 6 4 3 beschreibt, auf wie vie ® e unterschied ® iche Arten von sechs Spie ® en vier gewonnen werden können. Da sich die Wahrschein ® ichkeit, dass Linda ein Spie ® gegen Kathi gewinnt, von Spie ® zu Spie ® nicht verändert, braucht man nur den zuerst berechneten Wert 0,6 4 · 0,4 2 mit 2 6 4 3 mu ® tip ® izieren und erhä ® t so die gesuchte Wahrschein ® ichkeit. Es gi ® t: P(X = 4) = 2 6 4 3 · 0,6 4 · 0,4 2 ≈ 0,311. Die Wahrschein ® ichkeit 0,6, mit der Linda ein Spie ® gewinnt, wird a ® s Erfo ® gswahrschein- ® ichkeit bezeichnet. Die Erfo ® gswahrschein ® ichkeit b ® eibt für jedes Spie ® gegen Kathi unverän- dert. Bei jedem Spie ® gibt es nur zwei mög ® iche Versuchsausgänge : Linda kann gewinnen oder ver ® ieren. Man spricht von einem Bernou ®® i-Experiment . Die Anzah ® der von Linda gewonnen Spie ® e ist eine natür ® iche Zah ® , die mindestens 0 und höchstens 6 ist, da sie sechs Spie ® e gegeneinander spie ® en. Binomia ® vertei ® ung Tritt bei einem Zufa ®® sversuch das Ereignis E („Erfo ® g“) immer mit der Wahrschein ® ichkeit p ein, wird der Versuch n-ma ® unter den g ® eichen Bedingungen durchgeführt und gibt die Zufa ®® svariab ® e X die Anzah ® der Versuche an, bei denen das Ereignis E eintritt, gi ® t für die Wahrschein ® ichkeit P(X = k): f(k) = P(X = k) = 2 n k 3 · p k · (1 – p) n – k mit 0 ª p ª 1 und k = 0, 1, 2, 3, …, n Die diskrete Zufa ®® svariab ® e X heißt dann binomia ® vertei ® t . Die Wahrschein ® ichkeitsvertei ® ung f wird a ® s Binomia ® vertei ® ung mit den Parameters n und p bezeichnet. p wird Erfo ® gswahrschein ® ichkeit genannt und b ® eibt bei jedem Versuch g ® eich. Es gibt nur zwei mög ® iche Versuchsausgänge („Erfo ® g“ – „Misserfo ® g“). Nur zu Prüfzwecken – Eigentum es Verlags öbv