Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

techno- logie Merke 222 Binomialverteilung und weitere Verteilungen 10 Anordnungen und Auswah ® en mit Berücksichtigung der Reihenfo ® ge Anordnungen a ®® er E ® emente ohne Wiederho ® ung (Permutationen) In einer Urne befinden sich vier Kuge ® n, die mit den Zah ® en 1 bis 4 beschriftet sind. Es werden der Reihe nach a ®® e Kuge ® n aus der Urne gezogen und die Nummern notiert. So entsteht zum Beispie ® die „Zah ® “ 4132. Wie vie ® e unterschied ® iche Zah ® en gibt es? Für die erste Ste ®® e der Zah ® hat man vier Mög ® ichkeiten, für die zweite Ste ®® e nur mehr drei, für die dritte zwei und für die ® etzte Ste ®® e nur mehr eine Mög ® ichkeit. Nach dem Zäh ® prinzip ergeben sich 4 · 3 · 2 ·1 = 24 unterschied ® iche Anordnungen für die Kuge ® n, d. h. 24 verschiedene Zah ® en. Dieses Prinzip der Anordnung von Objekten ® ässt sich auf andere Kontexte übertragen. Bei einem 1 000-m-Lauf treten auf sechs Bahnen auch sechs Läufer gegeneinander an. Die Bahnen werden ausge ® ost. Vergabe der 1. Bahn w 6 Mög ® ichkeiten Vergabe der 2. Bahn w noch 5 Mög ® ichkeiten Vergabe der 3. Bahn w noch 4 Mög ® ichkeiten Vergabe der 4. Bahn w noch 3 Mög ® ichkeiten Vergabe der 5. Bahn w noch 2 Mög ® ichkeiten Vergabe der 6. Bahn w noch 1 Mög ® ichkeit Nach dem Zäh ® prinzip gibt es 6 · 5 · 4 · 3 · 2 ·1 = 720 unterschied ® iche Bahnvertei ® ungen (Anordnungen) für die sechs Läufer. Dies ® ässt sich vera ®® gemeinern, indem man nach den Anordnungsmög ® ichkeiten von n unterschied ® ichen E ® ementen einer Menge fragt. Jede so ® che Anordnungsmög ® ichkeit wird a ® s Permutation bezeichnet. Nach den obigen Über ® egungen gibt es zu einer so ® chen Menge n · (n – 1) · (n – 2) ·…· 3 · 2 ·1 Permutationen. Für dieses Produkt gibt es eine abgekürzte Schreibweise: n! = n · (n – 1) · (n – 2) ·…· 3 · 2 ·1 Permutationen Die Anzah ® der Permutationen (Anordnungen) einer Menge von n unterschied ® ichen E ® ementen ist: n! = n · (n – 1) · (n – 2) ·…· 3 · 2 ·1 (sprich: n Faku ® tät ) 793. Berechne die Faku ® täten. Erfinde ein Beispie ® dazu. a) 3! b) 7! c) 10! d) 15! Faku ® tät einer natür ® ichen Zah ® n Geogebra: n ! Beispie ® : 4! = 24 TI-nspire: n ! Beispie ® : 7! = 5 040 794. In einer Urne befinden sich acht Kuge ® n, die mit den Ziffern 1 bis 8 beschriftet sind. Die Kuge ® n werden nacheinander ohne Zurück ® egen gezogen und die Ziffern in der Reihenfo ® ge der gezogenen Kuge ® n notiert. Wie vie ® e unterschied ® iche Ziffernanordnungen sind dabei mög ® ich? Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv